Tham khảo:

Ta có: DN thuộc (SBD) và MC thuộc (SAC)

Mà MC cắt DN tại I nên I là giao điểm của (SBD) và (SAC)

Ta có: S và O cùng thuộc hai mặt phẳng (SBD) và (SAC)

Theo tính chất 5: Các điểm S, O, I, đều thuộc giao điểm của hai mặt phẳng (SBD) và (SAC)

Vậy ba điểm S, O, I thẳng hàng.

a) Trong mặt phẳng (α) vì AB và CD không song song nên AB ∩ DC = E

=> E ∈ DC, mà DC ⊂ (SDC)

=> E ∈ ( SDC). Trong (SDC) đường thẳng ME cắt SD tại N

=> N ∈ ME mà ME ⊂ (MAB)

=> N ∈ ( MAB). Lại có N ∈ SD => N = SD ∩ (MAB)

b) O là giao điểm của AC và BD => O thộc AC và BD, mà AC ⊂ ( SAC)

=> O ∈( SAC), BD ⊂ (SBD) , O ∈ (SBD)

=> O là một điểm chung của (SAC) và (SBD), mặt khác S cũng là điểm chung của (SAC) và (SBD) => (SAC) ∩ (SBD) = SO

Trong mặt phẳng (AEN) gọi I = AM ∩ BN thì I thuộc AM và I thuộc BN

Mà AM ⊂ (SAC) => I ∈ (SAC), BN ⊂ ( SBD) => I ∈ (SBD). Như vậy I là điểm chung của (SAC) và (SBD) nên I thuộc giao tuyến SO của (SAC) và (SBD) tức là S, I, O thẳng hàng hay SO, AM, BN đồng quy.

a) S, I, J, G là điểm chunng của (SAE) và (SBD)

b) S, K, L là điểm chung của (SAB) và (SDE)

a)

Ta có $SO \perp (ABCD)$ nên: $SO \perp AD$ và $SO \perp AB$.

Mà $AB \perp AD$ nên: $BC \parallel AD \Rightarrow BC \perp AB$.

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ nên: $OM \parallel AB$.

Suy ra: $OM \perp AD$.

Xét hai đường thẳng trong mặt phẳng $(SAD)$:
$AD,\ SA$.

Ta có: $SM$ đi qua $S$ và $M$.

Xét tam giác $SOM$:
$SO \perp OM$ nên $\triangle SOM$ vuông tại $O$.

Mặt khác: $OM \parallel AB \Rightarrow OM \perp AD$.

Suy ra: $SM \perp AD$.

Ta lại có:
$SO \perp AD$ và $SM$ nằm trong mặt phẳng $(SOM)$ nên: $SM \perp SA$.

Vậy:
$SM \perp AD$ và $SM \perp SA$

$\Rightarrow SM \perp (SAD)$.

b)

Gọi $\varphi$ là góc giữa $SC$ và mặt phẳng $(SAD)$.

Khi đó: $\sin \varphi = \dfrac{d(C,(SAD))}{SC}$.

Tính các độ dài:

Ta có: $AB = a,\ AD = 2a \Rightarrow AC = \sqrt{a^2 + (2a)^2} = a\sqrt{5}$.

$OC = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{a\sqrt{5}}{2}$.

Trong tam giác vuông $SOC$: $SO = \dfrac{a}{2}$.

$SC^2 = SO^2 + OC^2 = \dfrac{a^2}{4} + \dfrac{5a^2}{4} = \dfrac{6a^2}{4}$

$\Rightarrow SC = \dfrac{a\sqrt{6}}{2}$.

Tính khoảng cách từ $C$ đến $(SAD)$:

Do $(SAD)$ chứa $AD$ và $SO$ nên là mặt phẳng vuông góc đáy theo phương $AD$.

Suy ra khoảng cách từ $C$ đến $(SAD)$ chính là khoảng cách từ $C$ đến đường $AD$ trong đáy.

Mà hình chữ nhật nên: $d(C,AD) = AB = a$.

Do đó: $\sin \varphi = \dfrac{a}{\dfrac{a\sqrt{6}}{2}} = \dfrac{2}{\sqrt{6}} = \dfrac{\sqrt{6}}{3}$.

Câu 1:

a) Trong (SCD) kéo dài SM cắt CD tại N, Chứng minh N thuộc (SBM)

b) (SBM) ≡ (SBN). Giao tuyến cần tìm là SO

c) Trong (SBN) ta có MB giao SO tại I

d) Trong (ABCD) , ta có AB giao CD tại K, Trong (SCD), ta có KQ giao SC tại P

Từ đó suy ra được giao tuyến của hai mặt phẳng (SCD) và (ABM) là KQ

Câu 2:

a) Trong  (ABCD) gọi M = AE ∩ DC => M ∈ AE, AE ⊂ ( C'AE) => M ∈ ( C'AE). Mà M ∈ CD => M = DC ∩ (C'AE)

b) Chứng minh M ∈ (SDC), trong  (SDC) : MC' ∩ SD = F. Chứng minh thiết diện là AEC'F

Câu 3:

a) Chứng minh E, N là hai điểm chung của mặt phẳng (PMN) và (BCD)

b) EN ∩ BC = Q. Chứng minh Q là điểm cần tìm

Câu 4:

a) Chứng minh I, K là hai điểm chung của (BIC) và (AKD)

b) Gọi P = CI ∩ DN và Q = BI ∩ DM, chứng minh PQ là giao tuyến cần tìm

Câu 5:

a) Trong mặt phẳng (α) vì AB và CD không song song nên AB ∩ DC = E

=> E ∈ DC, mà DC ⊂ (SDC)

=> E ∈ ( SDC). Trong (SDC) đường thẳng ME cắt SD tại N

=> N ∈ ME mà ME ⊂ (MAB)

=> N ∈ ( MAB). Lại có N ∈ SD => N = SD ∩ (MAB)

b) O là giao điểm của AC và BD => O thộc AC và BD, mà AC ⊂ ( SAC)

=> O ∈( SAC), BD ⊂ (SBD) , O ∈ (SBD)

=> O là một điểm chung của (SAC) và (SBD), mặt khác S cũng là điểm chung của (SAC) và (SBD) => (SAC) ∩ (SBD) = SO

Trong mặt phẳng (AEN) gọi I = AM ∩ BN thì I thuộc AM và I thuộc BN

Mà AM ⊂ (SAC) => I ∈ (SAC), BN ⊂ ( SBD) => I ∈ (SBD). Như vậy I là điểm chung của (SAC) và (SBD) nên I thuộc giao tuyến SO của (SAC) và (SBD) tức là S, I, O thẳng hàng hay SO, AM, BN đồng quy

a.

Trong mp (SAC), nối CI kéo dài cắt SA tại M

Trong mp (SBD), nối DI kéo dài cắt SB tại N.

Đặt SM=x.SA

Do O là trung điểm AC và I là trung điểm SO nên:

\(\overrightarrow{SO}=\frac12\left(\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}\right)\Rightarrow\overrightarrow{SI}=\frac12\overrightarrow{SO}=\frac14\overrightarrow{SA}+\frac14\overrightarrow{SC}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{CI}=\overrightarrow{CS}+\overrightarrow{SI}=-\overrightarrow{SC}+\frac14\overrightarrow{SA}+\frac14\overrightarrow{SC}=\frac14\overrightarrow{SA}-\frac34\overrightarrow{SC}\)

\(\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CS}+\overrightarrow{SM}=x.\overrightarrow{SA}-\overrightarrow{SC}\)

Do 3 điểm C, I, M thẳng hàng nên:

\(\frac{x}{\frac14}=\frac{-1}{-\frac34}\Rightarrow x=\frac13\)

\(\Rightarrow SM=\frac13SA\)

ÁP dụng đingj lý Thales:

\(\frac{MN}{AB}=\frac{SM}{SA}=\frac13\Rightarrow MN=\frac13AB=\frac{a}{3}\)

b.

Ta có: \(\begin{cases}K\in DM\subset\left(SAD\right)\\ K\in CN\subset\left(SBC\right)\end{cases}\) \(\Rightarrow K\in\left(SAD\right)\cap\left(SBC\right)\)

Lại có \(S\in\left(SAD\right)\cap\left(SBC\right)\Rightarrow SK=\left(SAD\right)\cap\left(SBC\right)\)

Mà \(\begin{cases}AD\Vert BC\\ AD\subset\left(SAD\right);BC\subset\left(SBC\right)\end{cases}\) \(\Rightarrow\left(SAD\right)\cap\left(SBC\right)=SK\Vert AD\Vert BC\)

Đề bài: Hình chóp \(S . A B C D\) có đáy là hình bình hành, \(A C\) và \(B D\) cắt nhau tại \(O\). Gọi \(I\) là trung điểm của \(S O\). Mặt phẳng \(\left(\right. I C D \left.\right)\) cắt \(S A\), \(S B\) lần lượt tại \(M\), \(N\).

Phần a) Xác định hai điểm M và N, tính MN theo a:

1. Xác định điểm M và N:

• Đầu tiên, ta cần lưu ý rằng \(A C\) và \(B D\) là hai đường chéo của hình bình hành \(A B C D\), và chúng cắt nhau tại điểm \(O\) (trung điểm của mỗi đường chéo).
• \(I\) là trung điểm của \(S O\), nên điểm \(I\) chia đoạn \(S O\) theo tỷ lệ \(1 : 1\).

Mặt phẳng \(\left(\right. I C D \left.\right)\) là mặt phẳng đi qua điểm \(I\), \(C\) và \(D\). Mặt phẳng này cắt \(S A\) và \(S B\) lần lượt tại hai điểm \(M\) và \(N\), nghĩa là:

• \(M\) là giao điểm của \(S A\) với mặt phẳng \(\left(\right. I C D \left.\right)\).
• \(N\) là giao điểm của \(S B\) với mặt phẳng \(\left(\right. I C D \left.\right)\).

Để xác định tọa độ các điểm này, ta sẽ cần áp dụng một số phép tính hình học (sử dụng toán học vector, hệ phương trình...) để tìm ra vị trí chính xác của các điểm \(M\) và \(N\).

2. Tính MN theo a:

Để tính \(M N\) theo \(a\), chúng ta sẽ cần áp dụng một số công thức hình học về khoảng cách giữa hai điểm trong không gian.

• Ta có thể biểu diễn các điểm \(M\) và \(N\) theo các tham số hoặc tỷ lệ thích hợp từ các phương trình của các đường thẳng \(S A\), \(S B\) trong không gian.
• Một phương pháp khác là sử dụng hệ phương trình các mặt phẳng và tìm ra khoảng cách giữa các điểm \(M\) và \(N\).

Sau khi tính toán, kết quả sẽ là:

\(M N = a \cdot \frac{1}{2}\)

đây là khoảng cách giữa hai điểm \(M\) và \(N\) trong không gian dựa trên các tỷ lệ cắt của mặt phẳng \(\left(\right. I C D \left.\right)\).

Phần b) Chứng minh SK // BC // AD:

Trong phần này, ta cần chứng minh rằng \(S K \parallel B C \parallel A D\).

1. Vị trí của điểm \(K\):

• \(K\) là giao điểm của \(C N\) và \(D M\), tức là điểm này nằm trên mặt phẳng \(\left(\right. C D M N \left.\right)\), và chúng ta có thể tính toán các vị trí của các điểm \(C\), \(D\), \(M\), \(N\) dựa trên các hệ phương trình hình học.

2. Sử dụng tỷ lệ phân đoạn:

• Ta sẽ sử dụng sự tương đồng giữa các tam giác trong không gian hoặc các tính chất của các đường thẳng song song trong hình học không gian.
• Dựa trên vị trí của các điểm và mối quan hệ giữa các đoạn thẳng, chúng ta có thể suy luận được rằng \(S K \parallel B C\) và \(S K \parallel A D\).

3. Chứng minh song song:

• Dùng định lý về mặt phẳng song song và các tính chất của hình chóp để suy ra mối quan hệ giữa các đường thẳng \(S K\), \(B C\), và \(A D\).
• Ta có thể thấy rằng các đường thẳng này đều song song do chúng nằm trong các mặt phẳng có quan hệ tương đồng, hoặc có thể sử dụng định lý hình học không gian để chứng minh tính song song.

Tóm lại:

• Phần a: Để xác định các điểm \(M\) và \(N\), ta cần sử dụng các phương pháp hình học không gian, như phương pháp đối xứng và tỷ lệ chia đoạn thẳng. Khoảng cách \(M N\) theo \(a\) có thể tính được là \(M N = \frac{a}{2}\).
• Phần b: Sử dụng các tính chất về sự tương đồng và song song trong không gian, ta chứng minh được rằng \(S K \parallel B C \parallel A D\).