Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Chọn B.
Gọi H là chân đường cao của khối chóp S.ABC.
Lần lượt gọi hình chiếu của H trên các cạnh AB, BC, CA là D, E. F.
Khi đó ta có, góc giữa các mặt phẳng (SAB), (SBC), (SCA) với mặt đáy (ABC) lần lượt là SDH, SHE, SFH và Từ đó suy ra DH = HE = HF. Suy ra H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Ta có
Suy ra 
Suy ra chọn B
Gọi $AB=AC=a$ vì đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$.
Do $SA \perp (ABC)$ nên đặt: $SA=h$.
Thể tích khối chóp:
$V=\dfrac13\cdot\dfrac{a^2}{2}\cdot h=\dfrac{a^2h}{6}$.
Gọi $d$ là khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$.
Theo giả thiết: $d=3$.
Ta có công thức thể tích theo đáy $SBC$:
$V=\dfrac13 S_{SBC}\cdot d=S_{SBC}$.
Suy ra: $S_{SBC}=\dfrac{a^2h}{6}$.
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$.
Vì tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ nên:
$AM\perp BC$ và: $AM=\dfrac{a}{\sqrt2}$.
Mặt khác: $SA\perp BC$.
Suy ra mặt phẳng $(SAM)\perp BC$.
Do đó góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ là:
$\alpha=\widehat{SMA}$.
Xét tam giác vuông $SAM$ tại $A$:
$\tan\alpha=\dfrac{SA}{AM}=\dfrac{h}{a/\sqrt2}=\dfrac{h\sqrt2}{a}$.
Suy ra: $h=\dfrac{a\tan\alpha}{\sqrt2}$.
Thể tích:
$V=\dfrac{a^2}{6}\cdot\dfrac{a\tan\alpha}{\sqrt2} =\dfrac{a^3\tan\alpha}{6\sqrt2}$.
Mặt khác khoảng cách từ $A$ đến $(SBC)$ bằng:
$d=AM\sin\alpha =\dfrac{a}{\sqrt2}\sin\alpha=3$.
Suy ra: $a=\dfrac{3\sqrt2}{\sin\alpha}$.
Thế vào biểu thức thể tích:
$V=\dfrac1{6\sqrt2}\left(\dfrac{3\sqrt2}{\sin\alpha}\right)^3\tan\alpha$
$=\dfrac{9}{\sin^2\alpha\cos\alpha}$.
Đặt: $t=\cos\alpha$ với $0<t<1$.
Khi đó: $V=\dfrac{9}{(1-t^2)t}$.
Để $V$ nhỏ nhất thì: $(1-t^2)t=t-t^3$ phải lớn nhất.
Xét: $f(t)=t-t^3$.
$f'(t)=1-3t^2$.
$f'(t)=0 \Rightarrow t=\dfrac1{\sqrt3}$.
Vậy: $\cos\alpha=\dfrac{\sqrt3}{3}$.
Chọn đáp án C.
Gọi:
$AC=BC=x$ vì tam giác $ABC$ vuông cân tại $C$.
Do $SA\perp(ABC)$ nên tam giác $SAC$ vuông tại $A$.
Ta có: $SC=a$ nên: $SA^2+AC^2=a^2$
$\Rightarrow SA^2+x^2=a^2$.
Thể tích khối chóp:
$V=\dfrac13S_{ABC}\cdot SA$
$=\dfrac13\cdot\dfrac{x^2}{2}\cdot SA$
$=\dfrac{x^2SA}{6}$.
Từ: $SA^2=a^2-x^2$ suy ra: $SA=\sqrt{a^2-x^2}$.
Do đó: $V=\dfrac{x^2\sqrt{a^2-x^2}}{6}$.
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$.
Vì: $SA\perp(ABC)\Rightarrow SA\perp BC$ và: $CM\perp BC$
nên mặt phẳng $(SCM)\perp BC$.
Suy ra góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ là:
$\alpha=\widehat{SCM}$.
Trong tam giác vuông $SCM$ tại $C$:
$\sin\alpha=\dfrac{SM}{SC}$.
Mà: $SM^2=SA^2+CM^2 =SA^2+\left(\dfrac{x}{2}\right)^2$.
Từ điều kiện cực đại thể tích:
Xét: $f(x)=x^2\sqrt{a^2-x^2}$.
Ta có:
$f'(x)=0 \Rightarrow 2(a^2-x^2)-x^2=0$
$\Rightarrow 2a^2=3x^2$
$\Rightarrow x^2=\dfrac{2a^2}{3}$.
Suy ra: $SA^2=a^2-\dfrac{2a^2}{3}=\dfrac{a^2}{3}$.
Khi đó:
$SM^2=\dfrac{a^2}{3}+\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{2a^2}{3} =\dfrac{a^2}{2}$.
Do đó: $SM=\dfrac{a}{\sqrt2}$.
Suy ra: $\sin\alpha=\dfrac{SM}{SC} =\dfrac{a/\sqrt2}{a} =\dfrac{\sqrt2}{2}$.
Vậy: $\boxed{\sin\alpha=\dfrac{\sqrt2}{2}}$.
