Đề bài hiện còn thiếu dữ kiện về cạnh của tam giác đều $ABC$ nên chưa thể tính được góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(SAC)$. Bạn kiểm tra lại nhé

Chọn D

Xác định được

Gọi N là trung điểm BC, suy ra MN//AB.

Lấy điểm E đối xứng với N qua M, suy ra ABNE là hình chữ nhật.

Do đó

Chọn C

Xác định được 

Khi đó ta tính được 

Trong mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho ABCD là hình chữ nhật => AB//(SCD) nên

Từ (1) và (2) suy ra 

Xét tam giác vuông SAD có

Chọn hệ trục tọa độ:

$B(0,0,0),\ A(a,0,0),\ C(0,a,0)$ (tam giác vuông cân tại $B$)

Vì $SA \perp (ABC)$ nên đặt:

$S(a,0,h)$

Xét hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(SBC)$

$\vec{SB} = (-a,0,-h),\ \vec{SC} = (-a,a,-h)$

$\vec{n_2} = \vec{SB} \times \vec{SC} = (ah,\ 0,\ -a^2)$

Góc giữa hai mặt phẳng:

$\cos 60^\circ = \dfrac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}|,|\vec{n_2}|}$

Tính:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = a^2$

$|\vec{n_2}| = \sqrt{a^2h^2 + a^4} = a\sqrt{h^2 + a^2}$

Suy ra:

$\dfrac{1}{2} = \dfrac{a}{\sqrt{h^2 + a^2}}$

Giải ra:

$\dfrac{1}{4} = \dfrac{a^2}{h^2 + a^2} \Rightarrow h^2 + a^2 = 4a^2$

$\Rightarrow h^2 = 3a^2 \Rightarrow h = a\sqrt{3}$

Xét hai đường thẳng $AB$ và $SC$:

$\vec{AB} = (a,0,0),\ \vec{SC} = (-a,a,-a\sqrt{3})$

$\vec{AS} = (0,0,a\sqrt{3})$

Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau:

$d = \dfrac{|[\vec{AS}, \vec{AB}, \vec{SC}]|}{|\vec{AB} \times \vec{SC}|}$

Tính:

$\vec{AB} \times \vec{SC} = (0,\ a^2\sqrt{3},\ a^2)$

$|\vec{AB} \times \vec{SC}| = a^2\sqrt{3 + 1} = 2a^2$

$[\vec{AS}, \vec{AB}, \vec{SC}] = a^3\sqrt{3}$

Suy ra:

$d = \dfrac{a^3\sqrt{3}}{2a^2} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$

Gọi K là trung điểm của SA
=>KM//SC

=>SC//(KMB)

d(SC;BM)=d(S;(KBM))=SK/SA*d(A;(KBM))=d(A;(KBM))

=>ΔABC đều

=>BM vuông góc AC

=>BM vuông góc (SAC)

Kẻ AQ vuông góc KM

=>AQ vuông góc (KMB)

=>d(A;(KMB))=AQ

\(SC=\sqrt{9a^2+4a^2}=a\sqrt{13}\)

KM=1/2SC=a*căn 3/2

=>\(AQ=\dfrac{3\sqrt{13}}{13}\)

=>d(BM;SC)=3*căn 13/13

Kẻ BH//AC

AH vuông góc BH tại H

AC//BH

=>d(AC;SB)=d(AC;(SBH))=d(A;(SBH))

Kẻ AK vuông góc SH

=>BH vuông góc (SAH)

=>BH vuông góc AK

=>AK vuông góc (SHB)

=>d(A;(SHB))=AK

ΔABC vuông tại A nên H trùng với B

=>1/AK^2=1/SA^2+1/AB^2

=>AK=2a*căn 5/5

+) Hình chiếu vuông góc của SI trên mặt phẳng (ABC) là AI nên góc giữa SI và mặt phẳng (ABC) là:

(vì tam giác SIA vuông tại A nên góc SIA nhọn) ⇒ 

+) Xét tam giác SIA vuông tại A,   nên:

+) Dựng hình bình hành ACBD, tam giác ABC đều nên tam giác ABD đều.

+) Ta có:

   AC // BD; BD ⊂ (SBD) nên AC // (SBD).

   mà SB ⊂ (SBD) nên d(AC, SB) = d(A, (SBD)).

- Gọi K là trung điểm đoạn BD, tam giác ABD đều suy ra AK ⊥ BD và  mà BD ⊥ SA nên BD ⊥ (SAK).

- Dựng AH ⊥ SK; H ∈ SK.

- Lại có AH ⊥ BD suy ra AH ⊥ (SBD).

- Vậy d(A, (SBD)) = AH.

- Xét tam giác SAK vuông tại vuông tại A, đường cao AH ta có:

- Vậy d(AC, SB) = d(A, (SBD)) 

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0), B(a,0,0), C\left(\dfrac{a}{2}, \dfrac{a\sqrt{3}}{2},0\right)$

Đỉnh $S$ vuông góc với đáy ⇒ $S = (x_S, y_S, h)$. Vì tam giác đều đáy, thuận tiện đặt $S$ thẳng đứng trên trọng tâm $G$ của $\triangle ABC$:

$G = \dfrac{A+B+C}{3} = \left(\dfrac{0 + a + a/2}{3}, \dfrac{0 + 0 + a\sqrt{3}/2}{3},0\right) = \left(\dfrac{a}{2}, \dfrac{a\sqrt{3}}{6},0\right)$

Vậy $S = (a/2, a\sqrt{3}/6, h)$

Trung điểm $I$ của $BC$:

$I = \left(\dfrac{a + a/2}{2}, \dfrac{0 + a\sqrt{3}/2}{2}, 0\right) = \left(\dfrac{3a}{4}, \dfrac{a\sqrt{3}}{4},0\right)$

Góc giữa $SI$ và mặt phẳng đáy:

$\tan 60^\circ = \dfrac{SI_z}{\text{chiều dài hình chiếu của SI trên đáy}}$

Hình chiếu $\vec{SI}_{xy} = I - (x_S,y_S) = \left(\dfrac{3a}{4}-\dfrac{a}{2}, \dfrac{a\sqrt{3}}{4} - \dfrac{a\sqrt{3}}{6}\right) = \left(\dfrac{a}{4}, \dfrac{a\sqrt{3}}{12}\right)$

$|\vec{SI}_{xy}| = \sqrt{(a/4)^2 + (a\sqrt{3}/12)^2} = \sqrt{\dfrac{a^2}{16} + \dfrac{a^2 \cdot 3}{144}} = \sqrt{\dfrac{a^2}{16} + \dfrac{a^2}{48}} = \sqrt{\dfrac{4 a^2}{48}} = \dfrac{a}{\sqrt{12}} = \dfrac{a \sqrt{3}}{6}$

Vậy $SI_z = \tan 60^\circ \cdot |\vec{SI}_{xy}| = \sqrt{3} \cdot \dfrac{a \sqrt{3}}{6} = \dfrac{a}{2}$

⇒ $S = (a/2, a\sqrt{3}/6, a/2)$

Vector:

$\vec{SB} = B - S = \left(a - a/2, 0 - a\sqrt{3}/6, 0 - a/2\right) = \left(a/2, -a\sqrt{3}/6, -a/2\right)$

$\vec{AC} = C - A = \left(a/2 - 0, a\sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0\right) = \left(a/2, a\sqrt{3}/2,0\right)$

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo $SB$ và $AC$:

$d = \dfrac{| \vec{SB} \times \vec{AC} \cdot \vec{SA} |}{|\vec{SB} \times \vec{AC}|}$

Với $\vec{SA} = A - S = (-a/2, -a\sqrt{3}/6, -a/2)$

Tính tích có hướng:

$\vec{SB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ a/2 & -a\sqrt{3}/6 & -a/2 \\ a/2 & a\sqrt{3}/2 & 0 \end{vmatrix} = (a^2 \sqrt{3}/4, -a^2/4, a^2 \sqrt{3}/6)$

$|\vec{SB} \times \vec{AC}| = a^2 \sqrt{7}/12$

$\vec{SB} \times \vec{AC} \cdot \vec{SA} = a^3 \sqrt{7}/24$

Vậy:

$d = \dfrac{a^3 \sqrt{7}/24}{a^2 \sqrt{7}/12} = a/2$

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng $SB$ và $AC$ là:

$d = a/2$