\(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=2a\)

Gọi M là trung điểm BC \(\Rightarrow AM=\dfrac{1}{2}BC=a\)

GỌi N là trung điểm SA \(\Rightarrow AN=\dfrac{1}{2}SA=a\)

Dựng hình chữ nhật AMIN \(\Rightarrow\) I là tâm mặt cầu ngoại tiếp

\(R=IA=\sqrt{AM^2+AN^2}=a\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow V=\dfrac{4}{3}\pi R^3=...\)

Đáp án A

Đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ nên: $AC = 2a$ là cạnh huyền.

Gọi $O$ là trung điểm của $AC$ thì $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Ta có: $OA = OC = \dfrac{AC}{2} = a$

Vì $SA \perp (ABC)$ nên $SA \perp AO$.

Xét tam giác $SAO$ vuông tại $A$.

Áp dụng định lý Pythagore:

$SO^2 = SA^2 + AO^2$

$SO^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$

$\Rightarrow SO = a\sqrt{2}$

$SO$ chính là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $SABC$.

Kết luận Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $SABC$ là: $r = a\sqrt{2}$

Đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ nên: $AC = 2a$ là cạnh huyền.

Gọi $O$ là trung điểm của $AC$ thì $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Ta có: $OA = OC = \dfrac{AC}{2} = a$

Vì $SA \perp (ABC)$ nên $SA \perp AO$.

Xét tam giác $SAO$ vuông tại $A$.

Áp dụng định lý Pythagore:

$SO^2 = SA^2 + AO^2$

$SO^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$

$\Rightarrow SO = a\sqrt{2}$

$SO$ chính là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $SABC$.

Vậy Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $SABC$ là: $r = a\sqrt{2}$

Đáp án A

Đáp án A

Gọi O là tâm đáy, M là trung điểm AB

\(OA=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\)  ; \(OM=\dfrac{1}{2}OA=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}\)

\(\widehat{SMO}=45^0\Rightarrow SO=OM=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}\)

\(SA=\sqrt{SO^2+OA^2}=\dfrac{a\sqrt{15}}{6}\)

\(\Rightarrow R=\dfrac{SA^2}{2SO}=\dfrac{5a\sqrt{3}}{12}\)

\(V=\dfrac{4}{3}\pi R^3=\dfrac{125\pi a^3\sqrt{3}}{432}\)

Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ nên: $AB = BC = a$

$\Rightarrow AC = a\sqrt2$

Do $SA \perp (ABC)$ nên $SA \perp AB,\ SA \perp BC$.

Gọi $H,\ K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SB$ và $SC$.

Khi đó: $AH \perp SB,\ AK \perp SC$

=> $\angle AHB = \angle AKB = 90^\circ$

Xét tứ diện $A.HKB$.

Ta có:

$AH \perp SB$ và $BH \subset SB \Rightarrow AH \perp BH$

$\Rightarrow \triangle AHB$ vuông tại $H$

Tương tự, $\triangle AKB$ vuông tại $K$

Do đó, bốn điểm $A,H,K,B$ cùng nằm trên mặt cầu đường kính $AB$.

Suy ra mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $A.HKB$ có:

- Đường kính: $AB = a$

- Bán kính: $R = \dfrac{a}{2}$

Thể tích khối cầu:

$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$

$V = \dfrac{4}{3}\pi \left(\dfrac{a}{2}\right)^3$

$V = \dfrac{4}{3}\pi \cdot \dfrac{a^3}{8}$

$V = \dfrac{\pi a^3}{6}$

Vậy Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp $A.HKB$ là: $V = \dfrac{\pi a^3}{6}$

Đáp án B

Gọi I, E, F lần lượt là trung điểm của AC, AB, HC. IE là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác AHB, IF là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác HKC.

⇒ IA=IB=IC=IH=IK

Suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AHKB.

Suy ra bán kính R= a 2 2

Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ nên: $AB = BC = a$

Do $SA \perp (ABC)$ nên: $SA \perp AB,\ SA \perp BC$

Gọi $H,\ K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên các cạnh $SB,\ SC$.

Khi đó: $AH \perp SB,\ AK \perp SC$

=> $\angle AHB = 90^\circ,\ \angle AKB = 90^\circ$

Xét tứ diện $A.HKB$.

Ta có:

$AH \perp SB$ và $BH \subset SB \Rightarrow AH \perp BH$

$\Rightarrow \triangle AHB$ vuông tại $H$

Tương tự, $\triangle AKB$ vuông tại $K$

Vậy bốn điểm $A,H,K,B$ cùng nằm trên mặt cầu có đường kính $AB$.

Do đó:

- Đường kính mặt cầu: $AB = a$

- Bán kính mặt cầu: $R = \dfrac{a}{2}$

Thể tích khối cầu:

$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$

$V = \dfrac{4}{3}\pi \left(\dfrac{a}{2}\right)^3$

$V = \dfrac{4}{3}\pi \cdot \dfrac{a^3}{8}$

$V = \dfrac{\pi a^3}{6}$

Vậy Thể tích khối cầu cần tìm là: $V = \dfrac{\pi a^3}{6}$

Vì $(SBC)\perp(ABC)$ nên $SB\perp(ABC)$.

Suy ra $SB\perp AB$ và $SB\perp BC$.

Xét tam giác $SBC$ vuông tại $B$, ta có: $SB=a$, $BC=a$ nên $SC=\sqrt{SB^2+BC^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$ (phù hợp với giả thiết).

Do $SA=SB=a$ và $AB=a$ nên các điểm $S,A,B$ cùng nằm trên mặt cầu tâm $O$ sao cho:

$OS=OA=OB=a$

Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là: $R=a$

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp $S=4\pi R^2=4\pi a^2$