Kẻ \(AH\perp BC\)

Áp dụng hệ thức lượng: \(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}=\dfrac{4}{3a^2}\Rightarrow AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)

\(tan\widehat{SHA}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}=\dfrac{SA}{AH}\Rightarrow SA=\dfrac{AH.2}{\sqrt{3}}=a\)

Gọi M là trung điểm BC và N là trung điểm SA, dựng hình chữ nhật AMIN \(\Rightarrow\) I là tâm mặt cầu ngoại tiếp

\(AN=\dfrac{1}{2}SA=\dfrac{a}{2}\) ; \(AM=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}\sqrt{AB^2+AC^2}=a\)

\(\Rightarrow R=IA=\sqrt{AM^2+AN^2}=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}\)

\(V=\dfrac{4}{3}\pi R^3=...\)

Đáp án A

Đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ nên: $AC = 2a$ là cạnh huyền.

Gọi $O$ là trung điểm của $AC$ thì $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Ta có: $OA = OC = \dfrac{AC}{2} = a$

Vì $SA \perp (ABC)$ nên $SA \perp AO$.

Xét tam giác $SAO$ vuông tại $A$.

Áp dụng định lý Pythagore:

$SO^2 = SA^2 + AO^2$

$SO^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$

$\Rightarrow SO = a\sqrt{2}$

$SO$ chính là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $SABC$.

Kết luận Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $SABC$ là: $r = a\sqrt{2}$

Đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ nên: $AC = 2a$ là cạnh huyền.

Gọi $O$ là trung điểm của $AC$ thì $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Ta có: $OA = OC = \dfrac{AC}{2} = a$

Vì $SA \perp (ABC)$ nên $SA \perp AO$.

Xét tam giác $SAO$ vuông tại $A$.

Áp dụng định lý Pythagore:

$SO^2 = SA^2 + AO^2$

$SO^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$

$\Rightarrow SO = a\sqrt{2}$

$SO$ chính là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $SABC$.

Vậy Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $SABC$ là: $r = a\sqrt{2}$

Đáp án đúng : C

Đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ nên:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 = a^2 + (2a)^2 = 5a^2 \Rightarrow AC = a\sqrt5$.

Do $SA \perp (ABC)$ nên tam giác $SAC$ vuông tại $A$, suy ra:

$SC^2 = SA^2 + AC^2 = (a\sqrt3)^2 + (a\sqrt5)^2 = 3a^2 + 5a^2 = 8a^2 \Rightarrow SC = 2a\sqrt2$.

Mặt khác: $SB^2 = SA^2 + AB^2 = 3a^2 + a^2 = 4a^2 \Rightarrow SB = 2a$.

Xét tam giác $SBC$:

$SB^2 + BC^2 = (2a)^2 + (2a)^2 = 4a^2 + 4a^2 = 8a^2 = SC^2$.

Suy ra $\triangle SBC$ vuông tại $B$, nên tâm mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm của $SC$.

Bán kính: $R = \dfrac{SC}{2} = a\sqrt2$.

Diện tích mặt cầu:

$S_{mc} = 4\pi R^2 = 4\pi (a\sqrt2)^2 = 8\pi a^2$.

Vậy $S_{mc} = 8\pi a^2$.

Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$ nên: $AB = AC = a$

Gọi $D$ là trung điểm của $BC$ thì $D$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Ta có: $BD = CD = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$

Vì $SA \perp (ABC)$ và $SA = 2a$ nên hình chóp $S.ABC$ là hình chóp vuông tại $A$.

Gọi $O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$.

Do tính đối xứng, $O$ nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ đi qua $D$.

Xét mặt phẳng chứa $SA$ và $AD$.

Ta có: $AD = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$

Xét tam giác vuông $SAO$ tại $A$:

$AO^2 = AD^2 + AO_{\perp}^2 = \left(\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 + a^2 = \dfrac{a^2}{2} + a^2 = \dfrac{3a^2}{2}$

=> $R = AO = a\sqrt{\dfrac{3}{2}} = \dfrac{a\sqrt{6}}{2}$

Vậy Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ là: $R = \dfrac{a\sqrt{6}}{2}$

Đáp án B.

Dựng tam giác đều IAB (I và C cùng phía bờ AB).

Ta có:

Qua I dựng đường thẳng song song với SA, cắt đường trung trực của SA tại O thì O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Gọi M là trung điểm của SA.

Ta có:

Vì $SA \perp (ABC)$ nên tam giác $SAB$, $SAC$ vuông tại $A$.

Xét tam giác $ABC$ cân tại $B$, ta có:
$AB = BC = a$, $\widehat{ABC} = 120^\circ$

Áp dụng định lý cosin trong tam giác $ABC$:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos 120^\circ$

$AC^2 = a^2 + a^2 - 2a^2 \cdot (-\dfrac{1}{2})$

$AC^2 = 3a^2 \Rightarrow AC = a\sqrt{3}$

Do $SA \perp (ABC)$ nên tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ nằm trên đường trung trực của đoạn $SA$.

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp thỏa mãn:

$R^2 = \left(\dfrac{SA}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{AC}{2}\right)^2$

Thay số: $R^2 = \left(\dfrac{2a}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2$

$R^2 = a^2 + \dfrac{3a^2}{4} = \dfrac{7a^2}{4}$

$\Rightarrow R = \dfrac{a\sqrt{7}}{2}$

Đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $C$ nên: $AB = a$ là cạnh huyền

Ta có: $SA \perp (ABC)$ và $SA = 3a$

Vì $SA \perp (ABC)$ nên:

$SA \perp AC,\ SA \perp BC$

Suy ra hình chóp $S.ABC$ là hình chóp vuông tại A.

Trong hình chóp vuông, tâm mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm của đoạn nối từ đỉnh vuông góc đến tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.

Với tam giác vuông $ABC$, tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của cạnh huyền $AB$.

Gọi $O$ là trung điểm của $AB$.

Khi đó:

$OA = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{a}{2}$

Xét tam giác vuông $SAO$ tại $A$:

$SO^2 = SA^2 + OA^2$

$SO^2 = (3a)^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2$

$SO^2 = 9a^2 + \dfrac{a^2}{4}$

$SO^2 = \dfrac{36a^2 + a^2}{4} = \dfrac{37a^2}{4}$

$\Rightarrow SO = \dfrac{\sqrt{37}}{2}a$

$SO$ chính là bán kính mặt cầu ngoại tiếp:

$R = \dfrac{\sqrt{37}}{2}a$

Thể tích khối cầu:

$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$

$V = \dfrac{4}{3}\pi \left(\dfrac{\sqrt{37}}{2}a\right)^3$

$V = \dfrac{4}{3}\pi \cdot \dfrac{37\sqrt{37}}{8}a^3$

$V = \dfrac{37\sqrt{37}}{6}\pi a^3$

Vậy Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp là: $V = \dfrac{37\sqrt{37}}{6}\pi a^3$