Chọn A

Đặt hệ trục: $B(0,0,0),\ A(a,0,0),\ C(0,a,0)$

$\Rightarrow S(a,0,a)$

$E\left(\dfrac a2,0,0\right),\ F\left(\dfrac a2,\dfrac a2,0\right)$

Vectơ pháp tuyến: Mặt $(SEF)$:

$\vec{SE}=\left(-\dfrac a2,0,-a\right),\ \vec{SF}=\left(-\dfrac a2,\dfrac a2,-a\right)$

$\Rightarrow \vec n_1=\vec{SE}\times\vec{SF}=(2,0,-1)$

Mặt $(SBC)$: $\vec{SB}=(-a,0,-a),\ \vec{SC}=(-a,a,-a)$

$\Rightarrow \vec n_2=\vec{SB}\times\vec{SC}=(1,0,-1)$

Góc giữa hai mặt phẳng:

$\cos\varphi=\dfrac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1||\vec n_2|}$

$=\dfrac{|2\cdot1+0+(-1)(-1)|}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{2}}$

$=\dfrac{3}{\sqrt{10}}$

Đáp án: A.

Hướng dẫn giải: Gọi H là trung điểm của SB

⇒ IH song song với SC.

Do đó SC//(AHI)

Ta có A I = A B 2 + B I 2 = a 6 2

và  I H = S C 2 = S A 2 + A C 2 2 = a

Áp dụng định lý cosin trong tam giác AHI, có

S A B C M

Ta có : \(SA\perp BC\), \(AB\perp BC\) \(\Rightarrow SB\perp BC\)

Do đó : góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng \(\widehat{SBA}=30^0\)

\(V_{S.ABM}=\frac{1}{2}V_{S.ABC}=\frac{1}{2}SA.AB.BC\)

\(BC=AB=a;SA=AB.\tan30^0=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)

Vậy \(V_{s.ABM}=\frac{a^3\sqrt{3}}{36}\)

Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với (ABC) \(\Rightarrow SA\perp\left(ABC\right)\)

\(AB\perp BC\Rightarrow SB\perp BC\Rightarrow\widehat{SBA}\) là góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABC)

\(\Rightarrow\widehat{SBA}=60^o\)

\(\Rightarrow SA=AB.\tan\widehat{SBA}=2a\sqrt{3}\)

Mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N

\(\Rightarrow MN||BC\) và N là trung điểm của \(AC\\ \)

\(MN=\frac{BC}{2}=a;BM=\frac{AB}{2}=a\)

Diện tích \(S_{BCNM}=\frac{\left(BC+MN\right).BM}{2}=\frac{3a^2}{2}\)

Thể tích \(V_{S.BCNM}=\frac{1}{3}S_{BCNM}.SA=a^3\sqrt{3}\)

Kẻ đường thẳng \(\Delta\) đi qua N, song song với AB

Hạ \(AD\perp\Delta\left(D\in\Delta\right)\Rightarrow AB||\left(SND\right)\)

                                 \(\Rightarrow d\left(AB;SN\right)=d\left(AB,\left(SND\right)\right)=d\left(A,\left(SND\right)\right)\)

Hạ \(AH\perp SD\left(H\in SD\right)\Rightarrow AH\perp\left(SND\right)\Rightarrow d\left(A,\left(SND\right)\right)=AH\)

Tam giác SAD vuông tại A : \(\begin{cases}AH\perp SD\\AD=MN=a\end{cases}\)

                                            \(\Rightarrow d\left(AB,SN\right)=AH=\frac{SA.AD}{\sqrt{SA^2+AD^2}}=\frac{2a\sqrt{39}}{13}\)

1242

Đáp án A

Đặt hệ trục: $B(0,0,0),\ C(a,0,0),\ A(0,a,0)$

⇒ $S(0,a,a\sqrt3)$

$M$ là trung điểm $AC$: $M\left(\dfrac a2,\dfrac a2,0\right)$

Vectơ pháp tuyến: Mặt $(SAB)$:

$\vec{SA}=(0,0,a\sqrt3),\ \vec{SB}=(0,-a,-a\sqrt3)$

$\Rightarrow \vec{n_1}=\vec{SA}\times\vec{SB}=(1,0,0)$ (cùng phương trục $Ox$)

Mặt $(SBM)$: $\vec{SB}=(0,-a,-a\sqrt3)$
$\vec{SM}=\left(\dfrac a2,-\dfrac a2,-a\sqrt3\right)$

$\Rightarrow \vec{n_2}=\vec{SB}\times\vec{SM}$

Tính được: $\vec{n_2}=\left(\dfrac{a^2\sqrt3}{2},\dfrac{a^2\sqrt3}{2},-\dfrac{a^2}{2}\right)$

Góc giữa hai mặt phẳng:

$\cos\varphi=\dfrac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1||\vec n_2|}$

$=\dfrac{\frac{a^2\sqrt3}{2}}{\sqrt{\left(\frac{a^2\sqrt3}{2}\right)^2+\left(\frac{a^2\sqrt3}{2}\right)^2+\left(\frac{a^2}{2}\right)^2}}$

$=\dfrac{\frac{a^2\sqrt3}{2}}{a^2\cdot\frac{\sqrt7}{2}} =\dfrac{\sqrt3}{\sqrt7}$

=> $\sin\varphi=\sqrt{1-\dfrac{3}{7}}=\dfrac{2}{\sqrt7}$

$\cot\varphi=\dfrac{\cos\varphi}{\sin\varphi} =\dfrac{\sqrt3/\sqrt7}{2/\sqrt7} =\dfrac{\sqrt3}{2}$

Đáp án C.

Vì $AB=BC=a$ và tam giác vuông tại $B$ nên: $AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=a\sqrt2$

Do $SA\perp(ABC)$ nên: $SA\perp AB,\ SA\perp BC$

Góc giữa hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBC)$ là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với giao tuyến $SC$ trong hai mặt phẳng đó.

Gọi $H$ là trung điểm $SC$.

Ta có: $AC= a\sqrt2$

Trong tam giác vuông $SAC$: $SA=a,\ AC=a\sqrt2$

⇒ $SC=\sqrt{SA^2+AC^2} =\sqrt{a^2+2a^2} =a\sqrt3$

Xét tam giác $SBC$: $SB=\sqrt{SA^2+AB^2} =\sqrt{a^2+a^2} =a\sqrt2$

Ta có tam giác $SBC$ với:

$SB=a\sqrt2,\ BC=a,\ SC=a\sqrt3$

Dùng định lý cosin tính góc tại $C$:

$\cos\widehat{SCB} =\dfrac{SC^2+BC^2-SB^2}{2\cdot SC\cdot BC}$

$=\dfrac{3a^2+a^2-2a^2}{2\cdot a\sqrt3\cdot a}$

$=\dfrac{2a^2}{2a^2\sqrt3} =\dfrac1{\sqrt3}$

Vậy góc giữa hai mặt phẳng là: $\boxed{30^\circ}$

Đặt hệ trục:

$B(0,0,0),\ C(a,0,0),\ A(0,a,0)$

$\Rightarrow S(0,a,a\sqrt3)$

$M\left(\dfrac a2,\dfrac a2,0\right)$

Vectơ pháp tuyến:

Mặt $(SAB)$:

$\vec{SA}=(0,0,a\sqrt3),\ \vec{SB}=(0,-a,-a\sqrt3)$

$\Rightarrow \vec n_1=\vec{SA}\times\vec{SB}=(1,0,0)$

Mặt $(SBM)$:

$\vec{SB}=(0,-a,-a\sqrt3)$

$\vec{SM}=\left(\dfrac a2,-\dfrac a2,-a\sqrt3\right)$

$\Rightarrow \vec n_2=\vec{SB}\times\vec{SM} =\left(\dfrac{a^2\sqrt3}{2},\dfrac{a^2\sqrt3}{2},-\dfrac{a^2}{2}\right)$

Góc giữa hai mặt phẳng:

$\cos\varphi=\dfrac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1||\vec n_2|} =\dfrac{\sqrt3}{\sqrt7}$

$\sin\varphi=\dfrac{2}{\sqrt7}$

$\cot\varphi=\dfrac{\cos\varphi}{\sin\varphi} =\dfrac{\sqrt3}{2}$