Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $1$ nên tâm $O$ của đường tròn ngoại tiếp:
$OA = OB = OC = \dfrac{1}{\sqrt3}$.
Tam giác $SAB$ đều cạnh $1$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với $(ABC)$ nên:
$SA = SB = AB = 1$ và $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với $(ABC)$ tại trung điểm $M$ của $AB$.
Trong tam giác đều $SAB$:
$SM = \dfrac{\sqrt3}{2}$.
Mặt khác:
$OM = \sqrt{OA^2 - AM^2}= \sqrt{\left(\dfrac{1}{\sqrt3}\right)^2 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^2}= \sqrt{\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4}}= \dfrac{1}{2\sqrt3}$.
Suy ra: $SO^2 = SM^2 + OM^2= \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{12}= \dfrac{10}{12}= \dfrac{5}{6}$
$\Rightarrow SO = \sqrt{\dfrac{5}{6}}$.
Tâm mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm $I$ của $SO$ nên:
$R = \dfrac{SO}{2} = \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{5}{6}}$.
Thể tích khối cầu:
$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3= \dfrac{4}{3}\pi \left(\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{5}{6}}\right)^3= \dfrac{5\sqrt{30}\pi}{216}$.
Vậy $V = \dfrac{5\sqrt{30}\pi}{216}$.
Đáy $ABC$ có: $AB = a,\ BC = a\sqrt3,\ \widehat{ABC} = 30^\circ$.
Áp dụng định lý cosin:
$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2\cdot AB \cdot BC \cdot \cos 30^\circ= a^2 + 3a^2 - 2\cdot a \cdot a\sqrt3 \cdot \dfrac{\sqrt3}{2}= 4a^2 - 3a^2 = a^2$.
$\Rightarrow AC = a$.
Diện tích đáy:
$S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AB \cdot BC \cdot \sin 30^\circ= \dfrac{1}{2}\cdot a \cdot a\sqrt3 \cdot \dfrac{1}{2}= \dfrac{a^2\sqrt3}{4}$.
Tam giác $SAB$ đều cạnh $a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với $(ABC)$ nên:
$SA = SB = AB = a$ và $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với $(ABC)$ tại trung điểm $M$ của $AB$.
Trong tam giác đều $SAB$:
$SM = \dfrac{\sqrt3}{2}a$.
Vì $(SAB) \perp (ABC)$ nên $SM \perp (ABC)$, do đó $SM$ là chiều cao của khối chóp.
Thể tích khối chóp:
$V = \dfrac13 S_{ABC} \cdot SM= \dfrac13 \cdot \dfrac{a^2\sqrt3}{4} \cdot \dfrac{a\sqrt3}{2}= \dfrac{a^3}{8}$.
Vậy $V = \dfrac{a^3}{8}$.
.Thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho bằng
Đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $1$ nên tâm $O$ của đường tròn ngoại tiếp:
$OA = OB = OC = \dfrac{1}{\sqrt3}$.
Tam giác $SAB$ cân tại $S$ với $\widehat{ASB}=120^\circ$ nên:
$AB^2 = SA^2 + SB^2 - 2SA\cdot SB \cos120^\circ$.
Vì $SA = SB$ nên: $1 = 2SA^2 - 2SA^2\left(-\dfrac{1}{2}\right) = 3SA^2 \Rightarrow SA = \dfrac{1}{\sqrt3}$.
Gọi $M$ là trung điểm $AB$:
$SM^2 = SA^2 - AM^2 = \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{12} \Rightarrow SM = \dfrac{1}{2\sqrt3}$.
Vì $(SAB)\perp(ABC)$ nên $SM \perp (ABC)$.
Mặt khác: $OM = \sqrt{OA^2 - AM^2} = \sqrt{\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4}} = \dfrac{1}{2\sqrt3}$.
Suy ra: $SO^2 = SM^2 + OM^2 = \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{12} = \dfrac{1}{6} \Rightarrow SO = \dfrac{1}{\sqrt6}$.
Tâm mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm $I$ của $SO$ nên:
$R = \dfrac{SO}{2} = \dfrac{1}{2\sqrt6}$.
Thể tích khối cầu:
$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{4}{3}\pi \left(\dfrac{1}{2\sqrt6}\right)^3 = \dfrac{5\sqrt{15}\pi}{54}$.
Vậy $V = \dfrac{5\sqrt{15}\pi}{54}$.
Đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$, $\widehat{ABC}=60^\circ$ nên: $AC = a\sqrt3$.
Gọi $O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp. Do tính đối xứng, $O$ nằm trên đường trung trực của $AB$ và thuộc mặt phẳng vuông góc với $(ABCD)$.
Mặt bên $SAB$ là tam giác đều cạnh $a$ và $(SAB)\perp(ABCD)$ nên:
$S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy tại trung điểm $M$ của $AB$.
Suy ra: $AM = MB = \dfrac{a}{2}$, $SM = \dfrac{\sqrt3}{2}a$.
Xét tam giác vuông $OM A$:
$OA = OB = OC = OD$ nên: $OM^2 + AM^2 = R^2$.
Mặt khác: $OS = OM + SM$ và $OS = R$.
Giải hệ: $\begin{cases}R^2 = OM^2 + \dfrac{a^2}{4} \\R = OM + \dfrac{\sqrt3}{2}a\end{cases}$
Suy ra: $OM = \dfrac{a\sqrt3}{6}, \quad R = \dfrac{2a\sqrt3}{3}$.
Diện tích mặt cầu:
$S = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot \dfrac{4a^2 \cdot 3}{9} = \dfrac{16\pi a^2}{3}$.
Vậy diện tích mặt cầu là: $S = \dfrac{16\pi a^2}{3}$.
Đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$, $\widehat{ABC}=60^\circ$ nên: $AC = a\sqrt3$.
Tâm $O$ của mặt cầu ngoại tiếp nằm trên đường trung trực của các cạnh.
Xét tam giác $SAB$ đều cạnh $a$ và $(SAB)\perp(ABCD)$ nên $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy tại trung điểm $M$ của $AB$.
Suy ra: $AM = MB = \dfrac{a}{2}$.
Trong tam giác đều $SAB$:
$SM = \dfrac{\sqrt3}{2}a$.
Vì $SM \perp (ABCD)$ nên $SM$ là chiều cao.
Tâm $O$ của mặt cầu là trung điểm của $SM$:
$R = \dfrac{SM}{2} = \dfrac{\sqrt3}{4}a$.
Diện tích mặt cầu:
$S_{mc} = 4\pi R^2 = 4\pi \left(\dfrac{\sqrt3}{4}a\right)^2 = 4\pi \cdot \dfrac{3a^2}{16} = \dfrac{3\pi a^2}{4}$.
Vậy $S_{mc} = \dfrac{3\pi a^2}{4}$.
Đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ nên tâm $O$ của đường tròn ngoại tiếp là:
$OA = OB = OC = \dfrac{a}{\sqrt3}$.
Vì tam giác $SAB$ đều cạnh $a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với $(ABC)$ nên:
$SA = SB = AB = a$ và $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với $(ABC)$ tại trung điểm $M$ của $AB$.
Trong tam giác đều $SAB$: $SM = \dfrac{\sqrt3}{2}a$.
Mặt khác: $OM = \dfrac{a}{2\sqrt3}$.
Suy ra: $SO^2 = SM^2 - OM^2 = \dfrac{3a^2}{4} - \dfrac{a^2}{12} = \dfrac{8a^2}{12} = \dfrac{2a^2}{3}$.
$\Rightarrow SO = a\sqrt{\dfrac{2}{3}}$.
Tâm mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm $I$ của $SO$ nên:
$R = \dfrac{SO}{2} = \dfrac{a}{2}\sqrt{\dfrac{2}{3}}$.
Thể tích khối cầu:
$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{4}{3}\pi \left(\dfrac{a}{2}\sqrt{\dfrac{2}{3}}\right)^3 = \dfrac{4}{3}\pi \cdot \dfrac{a^3}{8} \cdot \dfrac{2\sqrt2}{3\sqrt3} = \dfrac{a^3\pi\sqrt6}{27}$.
Vậy $V = \dfrac{\pi a^3\sqrt6}{27}$.