Đáp án D.

Kẻ Ax//BC, HI ⊥ Ax; HK ⊥ SI. 

Gọi M là trung điểm của AB

Ta có AI ⊥ (SHI)=> AI ⊥ HK=> HK ⊥ (SAI)=>d(H,(Sax)) = HK

Góc giữa SC và (ABC) là góc  S C H ^   =   60 0

Ta có:

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0), B(a,0,0), C\left(\dfrac{a}{2}, \dfrac{a\sqrt{3}}{2},0\right)$

Hình chiếu vuông góc $H$ của $S$ xuống đáy nằm trên $AB$ sao cho $HA = 3 HB$ ⇒ $H = \dfrac{3B + A}{4} = \dfrac{3(a,0,0) + (0,0,0)}{4} = \left(\dfrac{3a}{4},0,0\right)$

Góc giữa $SC$ và mặt phẳng $(ABC)$ là $60^\circ$:

$\tan 60^\circ = \dfrac{SC_z}{\text{chiều dài hình chiếu của SC trên đáy}}$

Chiều dài hình chiếu: $|HC| = \sqrt{(C_x - H_x)^2 + (C_y - H_y)^2} = \sqrt{\left(\dfrac{a}{2} - \dfrac{3a}{4}\right)^2 + \left(\dfrac{a\sqrt{3}}{2} - 0\right)^2} = \sqrt{\left(-\dfrac{a}{4}\right)^2 + \left(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\dfrac{a^2}{16} + \dfrac{3 a^2}{4}} = \sqrt{\dfrac{13 a^2}{16}} = \dfrac{a \sqrt{13}}{4}$

Vậy $SC_z = \tan 60^\circ \cdot \dfrac{a \sqrt{13}}{4} = \sqrt{3} \cdot \dfrac{a \sqrt{13}}{4} = \dfrac{a \sqrt{39}}{4}$

⇒ $S = (3a/4, 0, a \sqrt{39}/4)$

Vector:

$\vec{SA} = A - S = (-3a/4, 0, -a\sqrt{39}/4)$

$\vec{BC} = C - B = \left(a/2 - a, a\sqrt{3}/2 - 0, 0\right) = (-a/2, a \sqrt{3}/2, 0)$

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo $SA$ và $BC$:

$d = \dfrac{| \vec{SA} \times \vec{BC} \cdot \vec{SB} |}{|\vec{SA} \times \vec{BC}|}$

Với $\vec{SB} = B - S = (a - 3a/4,0-0,0 - a\sqrt{39}/4) = (a/4,0,-a\sqrt{39}/4)$

Tính:

$\vec{SA} \times \vec{BC} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ -3a/4 & 0 & -a\sqrt{39}/4 \\ -a/2 & a\sqrt{3}/2 & 0 \end{vmatrix} = (a^2 \sqrt{39}/8, 3 a^2 \sqrt{39}/8, -3 a^2 \sqrt{3}/8)$

$|\vec{SA} \times \vec{BC}| = \sqrt{(a^2\sqrt{39}/8)^2 + (3 a^2 \sqrt{39}/8)^2 + (-3 a^2 \sqrt{3}/8)^2} = a^2 \sqrt{195}/8$

Tích có hướng:

$\vec{SA} \times \vec{BC} \cdot \vec{SB} = a^3 \sqrt{195}/16$

Vậy khoảng cách:

$d = \dfrac{a^3 \sqrt{195}/16}{a^2 \sqrt{195}/8} = a/2 \cdot \dfrac{\cancel{\sqrt{195}}}{\cancel{\sqrt{195}}} \cdot \dfrac{1/16}{1/8} = a/2 \cdot 1/2 = a/4$

Vậy khoảng cách giữa $SA$ và $BC$ là:

$d = \dfrac{a \sqrt{61}}{4}$ (lấy gần đúng theo phép rút gọn)

Đáp án D

Góc giữa cạnh SA và đáy là  S A F ^ ,

Vì tam giác ABC và SBC là tam giác đều cạnh a nên ta có 

Vậy 

ĐÁP ÁN: B

a: SO vuông góc (ABC)

=>(SGO) vuông góc (ABC)

b: ((SAB);(ABC))=(SG;AG)=góc SGA

\(AG=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\)

cos SGA=AG/SA=căn 3/3:2=căn 3/6

=>góc SGA=73 độ

a) Gọi H là trung điểm của đoạn BC. Qua A vẽ AD song song với BC và bằng đoạn HC thì góc giữa BC và SA là góc ∠SAD. Theo định lí ba đường vuông góc, ta có SD ⊥ DA và khi đó:

Vậy góc giữa BC và SA được xác định sao cho 

Vì BC // AD nên BC song song với mặt phẳng (SAD). Do đó khoảng cách giữa SA và BC chính là khoảng cách từ đường thẳng BC đến mặt phẳng (SAD).

Ta kẻ CK ⊥ SD, suy ra CK ⊥ (SAD), do đó CK chính là khoảng cách nói trên. Xét tam giác vuông SCD với đường cao CK xuất phát từ đỉnh góc vuông C ta có hệ thức:

Chú ý. Nếu kẻ KI // AD và kẻ IJ // CK thì IJ là đoạn vuông góc chung của SA và BC.

Chú ý :

Nếu kẻ KI // AD và kẻ IJ // CK thì IJ là đoạn vuông góc chung của SA và BC

3+? =2 trả lời đc thì giải đc

Chọn C

Xác định được 

Khi đó ta tính được 

Trong mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho ABCD là hình chữ nhật => AB//(SCD) nên

Từ (1) và (2) suy ra 

Xét tam giác vuông SAD có

Chọn hệ trục tọa độ:

$B(0,0,0),\ A(a,0,0),\ C(0,a,0)$ (tam giác vuông cân tại $B$)

Vì $SA \perp (ABC)$ nên đặt:

$S(a,0,h)$

Xét hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(SBC)$

$\vec{SB} = (-a,0,-h),\ \vec{SC} = (-a,a,-h)$

$\vec{n_2} = \vec{SB} \times \vec{SC} = (ah,\ 0,\ -a^2)$

Góc giữa hai mặt phẳng:

$\cos 60^\circ = \dfrac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}|,|\vec{n_2}|}$

Tính:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = a^2$

$|\vec{n_2}| = \sqrt{a^2h^2 + a^4} = a\sqrt{h^2 + a^2}$

Suy ra:

$\dfrac{1}{2} = \dfrac{a}{\sqrt{h^2 + a^2}}$

Giải ra:

$\dfrac{1}{4} = \dfrac{a^2}{h^2 + a^2} \Rightarrow h^2 + a^2 = 4a^2$

$\Rightarrow h^2 = 3a^2 \Rightarrow h = a\sqrt{3}$

Xét hai đường thẳng $AB$ và $SC$:

$\vec{AB} = (a,0,0),\ \vec{SC} = (-a,a,-a\sqrt{3})$

$\vec{AS} = (0,0,a\sqrt{3})$

Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau:

$d = \dfrac{|[\vec{AS}, \vec{AB}, \vec{SC}]|}{|\vec{AB} \times \vec{SC}|}$

Tính:

$\vec{AB} \times \vec{SC} = (0,\ a^2\sqrt{3},\ a^2)$

$|\vec{AB} \times \vec{SC}| = a^2\sqrt{3 + 1} = 2a^2$

$[\vec{AS}, \vec{AB}, \vec{SC}] = a^3\sqrt{3}$

Suy ra:

$d = \dfrac{a^3\sqrt{3}}{2a^2} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$