Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Chọn hệ trục tọa độ:
$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ C(0,a\sqrt3,0)$
Vì tam giác $SAB$ vuông tại $B$ nên:
$SB \perp AB$
Vì tam giác $SAC$ vuông tại $C$ nên:
$SC \perp AC$
Suy ra có thể đặt:
$S(a,a\sqrt3,h)$
Gọi $R$ là bán kính mặt cầu ngoại tiếp.
Thể tích khối cầu:
$\dfrac43\pi R^3=\dfrac{5\sqrt5}{6}\pi a^3$
Suy ra:
$R^3=\dfrac{5\sqrt5}{8}a^3$
$\Rightarrow R=\dfrac{a\sqrt5}{2}$
Gọi $O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp.
Do:
$OA=OB \Rightarrow x=\dfrac a2$
$OA=OC \Rightarrow y=\dfrac{a\sqrt3}{2}$
$OA=OS \Rightarrow z=\dfrac h2$
Khi đó:
$\begin{aligned}
R^2
&=OA^2\
&=\left(\dfrac a2\right)^2+\left(\dfrac{a\sqrt3}{2}\right)^2+\left(\dfrac h2\right)^2\
&=a^2+\dfrac{h^2}{4}\end{aligned}$
Thay $R=\dfrac{a\sqrt5}{2}$:
$\dfrac{5a^2}{4}=a^2+\dfrac{h^2}{4}$
$\Rightarrow h^2=a^2$
$\Rightarrow h=a$
Diện tích đáy:
$S_{ABC}=\dfrac12\cdot a\cdot a\sqrt3=\dfrac{a^2\sqrt3}{2}$
Thể tích khối chóp:
$\begin{aligned}
V
&=\dfrac13 S_{ABC}\cdot h\
&=\dfrac13\cdot\dfrac{a^2\sqrt3}{2}\cdot a\
&=\dfrac{a^3\sqrt3}{6}\end{aligned}$
Đặt hệ trục tọa độ:
$A(0,0,0),\ B(1,0,0),\ C(0,3,0)$
Vì tam giác $SAB$ vuông tại $B$ nên:
$SB \perp AB$
Vì tam giác $SAC$ vuông tại $C$ nên:
$SC \perp AC$
Suy ra có thể đặt:
$S(1,3,h)$
Gọi $R$ là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Ta có:
$\dfrac{4}{3}\pi R^3=\dfrac{5\sqrt5}{6}\pi$
Suy ra:
$R^3=\dfrac{5\sqrt5}{8}$
$\Rightarrow R=\dfrac{\sqrt5}{2}$
Mặt khác, với hệ tọa độ trên:
$\begin{aligned}R^2&=\dfrac{AB^2+AC^2+SA^2}{4}\&=\dfrac{1^2+3^2+h^2}{4}\&=\dfrac{10+h^2}{4}\end{aligned}$
Thay $R=\dfrac{\sqrt5}{2}$:
$\dfrac{10+h^2}{4}=\dfrac54$
$\Rightarrow h^2=-5$
Vô lý.
Đáp án C
Kẻ hinh chữ nhật A B C D như hình vẽ bên ⇒ S D ⊥ A B C D
Diện tích tam giác ABC là S A B C = 1 2 . A B . A C = a 2
Suy ra V S . A B C = 1 3 . S D . S Δ A B C = a 2 3 . S D = 2 3 a 3 ⇒ S D = 2 a .
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S . A B D C là
R = R A B D C 2 + S D 2 4 = a 5 2 2 + 2 a 2 4 = 3 a 2
Vậy bán kính mặt cầu cần tính là R = 3 a 2 .
Gọi I là trung điểm của SA.
Tam giác SAB, SAC vuông tại B , C ⇒ I S = I A = I B = I C ⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC.
Gọi H là trung điểm của BC. Vì vuông tại là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
⇒ I H ⊥ A B C .
Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC. Theo bài ra ta có:
Xét tam giác vuông ABC có:
B C = A B 2 + A C 2 = 2 ⇒ A H = 1
Xét tam giác vuông IAH có:
Ta có:
Xét tam giác vuông SAB có
Ta có
Chọn A.
Chọn hệ trục tọa độ:
$A(0,0,0),\ B(1,0,0),\ C(0,3,0)$
Vì tam giác $SAB$ vuông tại $B$ nên:
$SB \perp AB$
Vì tam giác $SAC$ vuông tại $C$ nên:
$SC \perp AC$
Suy ra đặt:
$S(1,3,h)$
Gọi $R$ là bán kính mặt cầu ngoại tiếp.
Ta có:
$\dfrac43\pi R^3=\dfrac{5\sqrt5\pi}{6}$
Suy ra:
$R^3=\dfrac{5\sqrt5}{8}$
$\Rightarrow R=\dfrac{\sqrt5}{2}$
Gọi $O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp.
Do:
$OA=OB \Rightarrow x=\dfrac12$
$OA=OC \Rightarrow y=\dfrac32$
$OA=OS \Rightarrow z=\dfrac h2$
Khi đó:
$\begin{aligned}R^2&=OA^2\&=\left(\dfrac12\right)^2+\left(\dfrac32\right)^2+\left(\dfrac h2\right)^2\end{aligned}$
Thay $R=\dfrac{\sqrt5}{2}$:
$\dfrac54=\dfrac14+\dfrac94+\dfrac{h^2}{4}$
$\Rightarrow h^2=-1$
Điều này vô lý.
Ta kiểm tra lại dữ kiện thể tích khối cầu:
Nếu:
$V=\dfrac{5\sqrt5\pi}{6}$
thì:
$\dfrac43\pi R^3=\dfrac{5\sqrt5\pi}{6}$
$\Rightarrow R=\dfrac{\sqrt5}{2}$
Nhưng bán kính tối thiểu phải lớn hơn:
$\dfrac{BC}{2}=\dfrac{\sqrt{10}}{2}$
nên đề bài đã bị sai dữ kiện.
Gọi O, I lần lượt là trung điểm của AC, SC.
Ta có:
∆ A B C vuông cân tại B ⇒ O là tâm đường tròn ngoại tiếp và A C = A B 2 = a 2 .
∆ S A C vuông tại A, I là trung điểm của S C ⇒ I S = I C = I A 2
Từ (1), (2) suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC, bán kính
Chọn: A
Đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ nên:
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = a^2 + (2a)^2 = 5a^2 \Rightarrow AC = a\sqrt5$.
Do $SA \perp (ABC)$ nên tam giác $SAC$ vuông tại $A$, suy ra:
$SC^2 = SA^2 + AC^2 = (a\sqrt3)^2 + (a\sqrt5)^2 = 3a^2 + 5a^2 = 8a^2 \Rightarrow SC = 2a\sqrt2$.
Mặt khác: $SB^2 = SA^2 + AB^2 = 3a^2 + a^2 = 4a^2 \Rightarrow SB = 2a$.
Xét tam giác $SBC$:
$SB^2 + BC^2 = (2a)^2 + (2a)^2 = 4a^2 + 4a^2 = 8a^2 = SC^2$.
Suy ra $\triangle SBC$ vuông tại $B$, nên tâm mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm của $SC$.
Bán kính: $R = \dfrac{SC}{2} = a\sqrt2$.
Diện tích mặt cầu:
$S_{mc} = 4\pi R^2 = 4\pi (a\sqrt2)^2 = 8\pi a^2$.
Vậy $S_{mc} = 8\pi a^2$.
Chọn đáp án C.
Đáp án A
Gọi K là trung điểm của BC.
Do SAB ^ = SCB ^ = 90 o nên dễ dàng nhận thấy trung điểm I của SB là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp SABC.
Gọi M là trung điểm của AC.
Tam giác ABC vuông tại B, ta có MA = MB = MC , mặt khác IA = IB = IC , do đó IM là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC hay IM ⊥ ABC
