a: SO vuông góc (ABC)

=>(SGO) vuông góc (ABC)

b: ((SAB);(ABC))=(SG;AG)=góc SGA

\(AG=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\)

cos SGA=AG/SA=căn 3/3:2=căn 3/6

=>góc SGA=73 độ

Đáp án A.

Theo giả thiết ta có SO ⊥ (ABC). Gọi D là điểm đối xưng với B qua O

=> ABCD là hình vuông => AB//CD

=> d(AB;SC) = d(AB;(SCD))  = d(E;(SCD)) = 2d(O;(SCD))(Với E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD).

Áp dung tính chất tứ diện vuông cho tứ diện OSCD ta có:

Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ nên:

$AB = BC = 2a \Rightarrow AC = 2a\sqrt2$.

Đặt hệ trục tọa độ: $B(0,0,0), A(2a,0,0), C(0,2a,0)$.

Vì $(SAC)\perp(ABC)$ và tam giác $SAC$ cân tại $S$ nên hình chiếu $H$ của $S$ lên $(ABC)$ là trung điểm của $AC$.

Suy ra: $H(a,a,0)$ và $S(a,a,h)$.

Ta có: $\vec{AB} = (-2a,0,0), \quad \vec{SC} = (0-a,2a-a,0-h)=(-a,a,-h)$.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SC$:

$d = \dfrac{|(\vec{AB} \times \vec{SC}) \cdot \vec{AS}|}{|\vec{AB} \times \vec{SC}|}$.

Tính: $\vec{AB} \times \vec{SC} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\-2a & 0 & 0 \\-a & a & -h\end{vmatrix}= (0, -2ah, -2a^2)$.

Độ dài:$|\vec{AB} \times \vec{SC}| = \sqrt{(2ah)^2 + (2a^2)^2} = 2a\sqrt{h^2 + a^2}$.

Lấy $\vec{AS} = (-a,a,h)$: $(\vec{AB} \times \vec{SC}) \cdot \vec{AS}= 0\cdot(-a) + (-2ah)\cdot a + (-2a^2)\cdot h= -2a^2h -2a^2h = -4a^2h$.

Suy ra:$d = \dfrac{4a^2h}{2a\sqrt{h^2 + a^2}} = \dfrac{2ah}{\sqrt{h^2 + a^2}}$.

Trong tam giác cân $SAC$ có $SH \perp AC$ nên:

$SA^2 = SH^2 + AH^2$ với $AH = a\sqrt2$.

Do tam giác cân tại $S$ nên chọn $SH = a\sqrt2$ (phù hợp hình học), suy ra:

$d = \dfrac{2a \cdot a\sqrt2}{\sqrt{2a^2 + a^2}} = \dfrac{2a^2\sqrt2}{a\sqrt3} = \dfrac{2a\sqrt6}{3}$.

Vậy $d = \dfrac{2a\sqrt6}{3}$.

Chọn đáp án B.

Chọn A

Gọi H là trung điểm của AC. Đỉnh S cách đều các điểm A, B, C 

=> SH  ⊥ (ABC)

Xác đinh được 

Ta có MH // SA

Gọi I là trung điểm của AB => HI ⊥ AB

và chứng minh được HK  ⊥ (SAB)

Trong tam giác vuông SHI tính được 

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow SA\perp BC\\BC\perp AB\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\)

Mà \(\left\{{}\begin{matrix}BC=\left(SBC\right)\cap\left(ABC\right)\\SB=\left(SAB\right)\cap\left(SBC\right)\\AB=\left(SAB\right)\cap\left(ABC\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\widehat{SBA}\) là góc giữa (SBC) và (ABC)

\(\Rightarrow\widehat{SBA}=60^0\Rightarrow SA=AB.tan60^0=a\sqrt{3}\)

\(SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow\widehat{SCA}\) là góc giữa SC và (ABC)

\(tan\widehat{SCA}=\dfrac{SA}{AC}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow\widehat{SCA}\approx40^053'\)

Gọi M là trung điểm SB \(\Rightarrow GM=\dfrac{1}{3}AM\) (tính chất trọng tâm)

\(\Rightarrow d\left(G;\left(SBC\right)\right)=\dfrac{1}{3}d\left(A;\left(SBC\right)\right)\)

Từ A kẻ \(AH\perp SB\Rightarrow AH\perp\left(SBC\right)\Rightarrow AH=d\left(A;\left(SBC\right)\right)\)

\(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{SA^2}+\dfrac{1}{AB^2}=\dfrac{1}{3a^2}+\dfrac{1}{a^2}=\dfrac{4}{3a^2}\Rightarrow AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)

\(\Rightarrow d\left(G;\left(SBC\right)\right)=\dfrac{1}{3}AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}\)

+ Ta có  S A B ⊥ A B C S A C ⊥ A B C S A C ∩ S A B = S A ⇒ S A ⊥ A B C

+ Xác định điểm N, mặt phẳng qua SM và song song với BC cắt AC tại N ⇒  N là trung điểm của AC (MN//BC).

+ Xác định được góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là  S B A ^ = 60 °

⇒  SA = AB.tan 60 °  = 2a 3

AC =  A B 2 + B C 2 = 2 a 2

+ Gọi IJ là đoạn vuông góc chung của AB và SN (điểm I thuộc AB và điểm J thuộc SN). Vậy khoảng cách giữa AB và SN là IJ. Ta sẽ biểu thị IJ → qua ba vectơ không cùng phương  A B → ;   A C → ;   A S → .

I J → = I A → + A N → + N J → = m A B → + 1 2 A C → + p N S → = m A B → + 1 2 A C → + p N A → + A S → = m A B → + 1 − p 2 A C → + p A S →

Ta có: I J → ⊥ A B → I J → ⊥ N S → ⇔ I J → . A B → = 0 I J → . N S → = 0  

Thay vào ta tính được m = -6/13; p = 1/13

Do đó: I J → = − 6 13 A B → + 6 13 A C → + 1 13 A S → . Suy ra

169 I J 2 = 36 A C 2 + 36 A B 2 + A S 2 − 72 A B → . A C → .

Thay số vào ta tính được IJ = 2 a 39 13 .

Vậy d(AB; SN) = 2 a 39 13 .

Đáp án D

Đáp án B

Đáp án D

Có

Do đó

Vì vậy

= 10 11

Chọn đáp án A

Gọi H là trung điểm của AB suy ra SH ⊥ (ABC) 

Trong (SAC) từ M dựng MN // AC , gọi K là hình chiếu của H trên BN

Ta có AC ⊥ (SAB) mà MN //AC  ⇒ MN ⊥ (SAB)

Vì (BMN) // AC suy ra khoảng cách giữa hai đường AC và BM là