Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Dễ dàng chứng minh MN // BC
Xét \(\Delta SBC\) có MN // BC và MN đi qua trọng tâm G
\(\Rightarrow\) \(\begin{cases}SM=\frac{2}{3}SB\\SN=\frac{2}{3}SC\end{cases}\)
Sử dụng công thức tỉ lệ thể tích đố với 2 khối tứ diện S.AMN và S.ABC ta có
\(\frac{V_{S.AMN}}{V_{S.ABC}}=\frac{SA}{SA}.\frac{SM}{SB}.\frac{SN}{SC}=1.\frac{2}{3}.\frac{2}{3}=\frac{4}{9}\\ \Rightarrow V_{S.AMN}=\frac{4}{9}.V_{S.ABC}\)
Tính được \(V_{S.ABC}=\frac{1}{6}SA.AB.BC=\frac{a^3}{6}\)
\(\Rightarrow V_{S.AMN}=\frac{2a^3}{27}\)
a) Tính \(V_{S.ABM}\)
Tam giác ABC cân tại A , SBC cân tại S \(\Rightarrow AM\perp BC;SM\perp BC\) tại M
Vì mp(SBC) vuông góc với mặt đáy suy ra SM vuông góc với mặt đáy
Góc giữa SB và mặt đáy là góc SBM=300
\(\Rightarrow SM=BMtan.\widehat{SBM}=\frac{a}{2}.tan30^0=\frac{a}{2\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow V_{S.ABM}=\frac{1}{3}.SM.S_{ABM}=\frac{1}{3}.\frac{a}{2\sqrt{3}}.\frac{1}{2}.\frac{a}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a^3}{48}\)
b) Tính k/c SB và AM
Kẻ MH vuông góc với SB tại H
Dễ dàng chứng minh MH là đoạn vuông góc chung giữa SB và AM
Vậy khảong cách giữa SB và AM bằng đoạn MH và bằng \(\frac{BM}{cos.\widehat{HBM}}=\frac{\frac{a}{2}}{cos30^0}=\frac{a}{\sqrt{3}}\)
Kẻ SH vuông góc với BC tại H => SH vuông góc với (ABC)
Kẻ HM vuông góc với AB tại M và HN vuông góc với AC tại N
Ta có góc SMH = góc SNH = 60 độ
Dễ thấy tam giác SHM = tam giác SHN => HM = HN
Ta có HM = HB.sin 30 = 1/2 HB hay HB = 2 HM
HN = HC.sin 60 = HC.căn 3 /2 => HC = 2/căn 3.HN = 2/căn 3 .HM
=> BC = a = HB + HC = ( 2 + 2/căn 3).HM
=> HM = a/(2 + 2/căn 3) = a.căn 3 /(2+ 2.căn 3)
=> SH = HM.tan 60 = 3a/(2+2.căn 3)
Có AB = BC/2 = a/2
AC = BC.căn 3/2 = a.căn 3/2
S(ABC) = 1/2.AB.AC = 1/8.a^2.căn 3
=> V(SABC) = 1/3.3a/(2+2.căn 3) . 1/8.a^2.căn 3 = a^3.căn 3 /[16.(1+ căn 3)]
S B M H A E N C D
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên AB, suy ra \(SH\perp\left(ABCD\right)\)
Do đó, SH là đường cao của hình chóp S.BMDN
Ta có : \(SA^2+SB^2=a^2+3a^2=AB^2\)
Nên tam giác SAB là tam giác vuông tại S.
Suy ra : \(SM=\frac{AB}{2}=a\) Do đó tam giác SAM là tam giác đều, suy ra \(SH=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)
Diện tích của tứ giác BMDN là \(S_{BMDN}=\frac{1}{2}S_{ABCD}=2a^2\)
Thể tích của khối chóp S.BMDN là \(V=\frac{1}{3}SH.S_{BMDN}=\frac{a^3\sqrt{3}}{3}\)
Kẻ ME song song với DN (E thuộc AD)
Suy ra : \(AE=\frac{a}{2}\) Đặt \(\alpha\) là góc giữa 2 đường thẳng SM và DN
Ta có \(\left(\widehat{SM,ME}\right)=\alpha\), theo định lý 3 đường vuông góc ta có \(SA\perp AE\)
Suy ra :
\(SE=\sqrt{SA^2+AE^2}=\frac{a\sqrt{5}}{2};ME=\sqrt{AM^2+AE^2}=\frac{a\sqrt{5}}{2}\)
Tam giác SME là tam giác cân tại E nên \(\begin{cases}\widehat{SME}=\alpha\\\cos\alpha=\frac{\frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt{5}}{2}}=\frac{\sqrt{5}}{5}\end{cases}\)
Cho mình hỏi, tam giác cân thì tại sao lại suy ra cos góc kia như thế ??
A B C D H K S
Hạ \(SH\perp BC\Rightarrow\left(SBC\right)\perp\left(ABC\right)\)
\(\Rightarrow SH\perp BC;SH=SB.\sin\widehat{SBC}=a\sqrt{3}\)
Diện tích : \(S_{ABC}=\frac{12}{\boxtimes}BA.BC=6a^2\)
Thể tích : \(V_{s.ABC}=\frac{1}{3}S_{ABC}.SH=2a^3\sqrt{3}\)
Hạ \(HD\perp AC\left(D\in AC\right),HK\perp SD\left(K\in SD\right)\)
\(\Rightarrow HK\perp\left(SAC\right)\Rightarrow HK=d\left(H,\left(SAC\right)\right)\)
\(BH=SB.\cos\widehat{SBC}=3a\Rightarrow BC=4HC\)
\(\Rightarrow d\left(B,\left(SAC\right)\right)=4d\left(H,SAC\right)\)
Ta có : \(AC=\sqrt{BA^2+BC^2}=5a;HC=BC-BH=a\)
\(\Rightarrow HD=BA.\frac{HC}{AC}=\frac{3a}{5}\)
\(HK=\frac{SH.HS}{\sqrt{SH^2+HD^2}}=\frac{3a\sqrt{7}}{14}\)
Vậy \(d\left(B,\left(SAC\right)\right)=4HK=\frac{6a\sqrt{7}}{7}\)
Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ nên: $AB = BC = a$
$\Rightarrow AC = a\sqrt2$
Do $SA \perp (ABC)$ nên $SA \perp AB,\ SA \perp BC$.
Gọi $H,\ K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SB$ và $SC$.
Khi đó: $AH \perp SB,\ AK \perp SC$
=> $\angle AHB = \angle AKB = 90^\circ$
Xét tứ diện $A.HKB$.
Ta có:
$AH \perp SB$ và $BH \subset SB \Rightarrow AH \perp BH$
$\Rightarrow \triangle AHB$ vuông tại $H$
Tương tự, $\triangle AKB$ vuông tại $K$
Do đó, bốn điểm $A,H,K,B$ cùng nằm trên mặt cầu đường kính $AB$.
Suy ra mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $A.HKB$ có:
- Đường kính: $AB = a$
- Bán kính: $R = \dfrac{a}{2}$
Thể tích khối cầu:
$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$
$V = \dfrac{4}{3}\pi \left(\dfrac{a}{2}\right)^3$
$V = \dfrac{4}{3}\pi \cdot \dfrac{a^3}{8}$
$V = \dfrac{\pi a^3}{6}$
Vậy Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp $A.HKB$ là: $V = \dfrac{\pi a^3}{6}$
Đáp án B
Gọi I, E, F lần lượt là trung điểm của AC, AB, HC. IE là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác AHB, IF là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác HKC.
⇒ IA=IB=IC=IH=IK
Suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AHKB.
Suy ra bán kính R= a 2 2
Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ nên: $AB = BC = a$
Do $SA \perp (ABC)$ nên: $SA \perp AB,\ SA \perp BC$
Gọi $H,\ K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên các cạnh $SB,\ SC$.
Khi đó: $AH \perp SB,\ AK \perp SC$
=> $\angle AHB = 90^\circ,\ \angle AKB = 90^\circ$
Xét tứ diện $A.HKB$.
Ta có:
$AH \perp SB$ và $BH \subset SB \Rightarrow AH \perp BH$
$\Rightarrow \triangle AHB$ vuông tại $H$
Tương tự, $\triangle AKB$ vuông tại $K$
Vậy bốn điểm $A,H,K,B$ cùng nằm trên mặt cầu có đường kính $AB$.
Do đó:
- Đường kính mặt cầu: $AB = a$
- Bán kính mặt cầu: $R = \dfrac{a}{2}$
Thể tích khối cầu:
$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$
$V = \dfrac{4}{3}\pi \left(\dfrac{a}{2}\right)^3$
$V = \dfrac{4}{3}\pi \cdot \dfrac{a^3}{8}$
$V = \dfrac{\pi a^3}{6}$
Vậy Thể tích khối cầu cần tìm là: $V = \dfrac{\pi a^3}{6}$
A E M B C H N S
Xét tam giác ABC có : \(BC=AB.\tan60^0=2a\sqrt{3}\Rightarrow S_{\Delta ABC}=2a^2\sqrt{3}\)
\(V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SA.S_{\Delta ABC}=\frac{1}{3}a\sqrt{3}.2a^2\sqrt{3}=2a^3\)
- Gọi N là trung điểm cạnh SA. Do SB//(CMN) nên d(SB. CM)=d(SB,(CMN))
=d(B,(CMN))
=d(A,(CMN))
- Kẻ \(AE\perp MC,E\in MC\) và kẻ \(AH\perp NE,H\in NE\), ta chứng minh được \(AH\perp\left(CMN\right)\Rightarrow d\left(A,\left(CMN\right)\right)=AH\)
Tính \(AE=\frac{2S_{\Delta AMC}}{MC}\) trong đó :
\(S_{\Delta AMC}=\frac{1}{2}AM.AC.\sin\widehat{CAM}=\frac{1}{2}a.4a\frac{\sqrt{3}}{2}=a^2\sqrt{3};MC=a\sqrt{13}\)
\(\Rightarrow AE=\frac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{13}}\)
Tính được \(AH=\frac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{29}}\Rightarrow d\left(A,\left(CMN\right)\right)=\frac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{29}}\Rightarrow d\left(SB,CM\right)=\frac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{29}}\)
Đáp án D
$(SAB)\perp(ABC)$ và $(SAC)\perp(ABC)$
$\Rightarrow SA \perp (ABC)$
$\Rightarrow SA$ là chiều cao của hình chóp $S.ABC$.
$SB$ tạo với $(ABC)$ góc $60^\circ$
$\Rightarrow \sin 60^\circ=\dfrac{SA}{SB}$
$\Rightarrow SA=\dfrac{\sqrt{3}}{2}SB$
$\Rightarrow SB=\dfrac{2}{\sqrt{3}}SA$
Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$, $BA=BC=a$
$S_{\triangle ABC}=\dfrac{1}{2}a\cdot a=\dfrac{a^2}{2}$
Thể tích khối chóp $S.ABC$:
$V_{S.ABC}=\dfrac{1}{3}\cdot S_{\triangle ABC}\cdot SA =\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{a^2}{2}\cdot SA =\dfrac{a^2SA}{6}$
$M,N$ là trung điểm của $SB,SC$
$\Rightarrow BMNC$ là thiết diện song song với đáy
$\Rightarrow$ khối $A.BMNC$ có thể tích bằng $\dfrac{1}{4}$ thể tích khối $S.ABC$.
$V_{A.BMNC}=\dfrac{1}{4}V_{S.ABC} =\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{a^2SA}{6} =\dfrac{a^2SA}{24}$
Mà $SA=\dfrac{\sqrt{3}}{2}a$
$\Rightarrow V_{A.BMNC}=\dfrac{a^2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}a}{24} =\dfrac{a^3\sqrt{3}}{48}$
Chọn C.