Đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ nên:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 = a^2 + (2a)^2 = 5a^2 \Rightarrow AC = a\sqrt5$.

Do $SA \perp (ABC)$ nên tam giác $SAC$ vuông tại $A$, suy ra:

$SC^2 = SA^2 + AC^2 = (a\sqrt3)^2 + (a\sqrt5)^2 = 3a^2 + 5a^2 = 8a^2 \Rightarrow SC = 2a\sqrt2$.

Mặt khác: $SB^2 = SA^2 + AB^2 = 3a^2 + a^2 = 4a^2 \Rightarrow SB = 2a$.

Xét tam giác $SBC$:

$SB^2 + BC^2 = (2a)^2 + (2a)^2 = 4a^2 + 4a^2 = 8a^2 = SC^2$.

Suy ra $\triangle SBC$ vuông tại $B$, nên tâm mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm của $SC$.

Bán kính: $R = \dfrac{SC}{2} = a\sqrt2$.

Diện tích mặt cầu:

$S_{mc} = 4\pi R^2 = 4\pi (a\sqrt2)^2 = 8\pi a^2$.

Vậy $S_{mc} = 8\pi a^2$.

Chọn đáp án C.

Đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ nên:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 = a^2 + (a\sqrt3)^2 = a^2 + 3a^2 = 4a^2 \Rightarrow AC = 2a$.

Do $SA \perp (ABC)$ nên tam giác $SAC$ vuông tại $A$, suy ra:

$SC^2 = SA^2 + AC^2 = (2a\sqrt3)^2 + (2a)^2 = 12a^2 + 4a^2 = 16a^2 \Rightarrow SC = 4a$.

Xét tam giác $SBC$: $SB^2 = SA^2 + AB^2 = 12a^2 + a^2 = 13a^2$,

$BC = a\sqrt3 \Rightarrow BC^2 = 3a^2$.

Ta có: $SB^2 + BC^2 = 13a^2 + 3a^2 = 16a^2 = SC^2$.

Suy ra $\triangle SBC$ vuông tại $B$, nên tâm mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm của $SC$.

Bán kính: $R = \dfrac{SC}{2} = \dfrac{4a}{2} = 2a$.

Vậy $R = 2a$.

Chọn đáp án D.

Đáp án đúng : B

Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ và: $BC=3a$.

Suy ra:

$AB=AC=\dfrac{BC}{\sqrt2}=\dfrac{3a\sqrt2}{2}$.

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ B\left(\dfrac{3a\sqrt2}{2},0,0\right),\ C\left(0,\dfrac{3a\sqrt2}{2},0\right)$.

Vì $SA\perp(ABC)$ và $SA=2a$ nên:

$S(0,0,2a)$.

Gọi $O(x,y,z)$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Do $OA=OB$ nên:

$x=\dfrac{3a\sqrt2}{4}$.

Do $OA=OC$ nên $y=\dfrac{3a\sqrt2}{4}$.

Do $OA=OS$ nên $z=a$.

Vậy: $O\left(\dfrac{3a\sqrt2}{4},\dfrac{3a\sqrt2}{4},a\right)$.

Bán kính mặt cầu:

$R=OA$

$=\sqrt{\left(\dfrac{3a\sqrt2}{4}\right)^2+\left(\dfrac{3a\sqrt2}{4}\right)^2+a^2}$

$=\sqrt{\dfrac{9a^2}{8}+\dfrac{9a^2}{8}+a^2}$

$=\sqrt{\dfrac{13a^2}{4}}$

$=\dfrac{a\sqrt{13}}{2}$.

Vậy: $\boxed{R=\dfrac{a\sqrt{13}}{2}}$.

Dựng tam giác đều IAB (I và C cùng phía bờ AB). Ta có ∠ I B C = 120 ° - 60 ° = 60 ° và IB=BC nên DIBC đều, IA=IB=IC=a

Qua I dựng đường thẳng song song với SA, cắt đường trung trực của SA tại O thì O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Gọi M là trung điểm của SA.

Chọn hệ trục tọa độ:

$B(0,0,0),\ A(a,0,0)$

Vì $\widehat{ABC} = 120^\circ,\ BC = a$ nên:

$C\left(a\cos120^\circ,\ a\sin120^\circ,\ 0\right) = \left(-\dfrac{a}{2},\ \dfrac{a\sqrt{3}}{2},\ 0\right)$

Vì $SA \perp (ABC),\ SA = 2a$ nên đặt:

$S(a,0,2a)$

Gọi $O(x,y,z)$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp

Do $OA = OB = OC = OS$

Từ $OA = OB$:

$(x-a)^2 + y^2 + z^2 = x^2 + y^2 + z^2 \Rightarrow x = \dfrac{a}{2}$

Từ $OB = OC$:

$x^2 + y^2 + z^2 = \left(x + \dfrac{a}{2}\right)^2 + \left(y - \dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 + z^2$

Thay $x = \dfrac{a}{2}$ ⇒ $y = \dfrac{a}{2\sqrt{3}}$

Từ $OA = OS$:

$(x-a)^2 + y^2 + z^2 = (x-a)^2 + y^2 + (z-2a)^2$

$\Rightarrow z = a$

Suy ra:

$O\left(\dfrac{a}{2},\ \dfrac{a}{2\sqrt{3}},\ a\right)$

Bán kính:

$R^2 = OA^2 = \left(-\dfrac{a}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{a}{2\sqrt{3}}\right)^2 + a^2$

$= \dfrac{a^2}{4} + \dfrac{a^2}{12} + a^2 = \dfrac{4a^2}{3}$

Suy ra:

$R = \dfrac{2a}{\sqrt{3}} = \dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$

Gọi G là trọng tâm của tam giác đều ABC, suy ra G là tâm đường tròn ngoại tiếp DABC

Trục của đường tròn ngoại tiếp DABC cắt mặt phẳng trung trực của cạnh bên SA tại tâm I của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Tính

Chọn đáp án C

Vậy hai điểm cùng nhìn cạnh dưới một góc vuông. Điều đó chứng tỏ SC là đường kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Do đó bán kính

Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên:

$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$.

Đặt hệ trục tọa độ:

$B(0,0,0),\ A(3,0,0),\ C(0,4,0)$.

Vì $SA\perp(ABC)$ và $SA=5$ nên:

$S(3,0,5)$.

Gọi $O(x,y,z)$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp.

Từ $OA=OB$:

$(x-3)^2+y^2+z^2=x^2+y^2+z^2 \Rightarrow x=\dfrac32$.

Từ $OB=OC$:

$x^2+(y-4)^2+z^2=x^2+y^2+z^2 \Rightarrow y=2$.

Từ $OA=OS$:

$z^2=(z-5)^2 \Rightarrow z=\dfrac52$.

Vậy:

$O\left(\dfrac32,2,\dfrac52\right)$.

Bán kính mặt cầu:

$R=OA=\sqrt{\left(\dfrac32\right)^2+2^2+\left(\dfrac52\right)^2}$

$=\sqrt{\dfrac94+4+\dfrac{25}{4}}=\sqrt{\dfrac{50}{4}}=\dfrac{5\sqrt2}{2}$.

Vậy:

$\boxed{R=\dfrac{5\sqrt2}{2}}$.

Đáp án D

Gọi M là trung điểm của BC. Suy ra M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông ABC. Kẻ đường thẳng D đi qua M và vuông góc với mặt phẳng (ABC), D chính là trục của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.

Trong mặt phẳng chứa SA và D, dựng đường trung trực d của SA.  d ∩ D = O

do đó O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC

Ta có S A ⊥ A B C A C ⊂ A B C

⇒ S A ⊥ A C

S A ⊥ A B C A B ⊥ B C

⇒ S B ⊥ B C . Tâm I của mặt cầu là trung điểm của cạnh huyền SC.

Bán kính: R = SI = S C 2

S A 2 + A C 2 2 = a 2 + a 2 + a 2 2 = a 3 2

Đáp án D

Vì tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ nên:

$AB = BC = a,\ \widehat{ABC} = 90^\circ$

Vì $SA \perp (ABC)$ và $SA = a$ nên tam giác $SAB$ vuông tại $A$:

$SB^2 = SA^2 + AB^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 \Rightarrow SB = a\sqrt{2}$

Xét tứ diện $S.ABC$:

Ta có các cạnh xuất phát từ $B$:

$BA = BC = a,\ BS = a\sqrt{2}$

và:

$BA \perp BC,\ BA \perp BS,\ BC \perp BS$

⇒ Đây là tứ diện vuông tại $B$

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện vuông:

$R = \dfrac{1}{2}\sqrt{BA^2 + BC^2 + BS^2}$

Thay vào:

$R = \dfrac{1}{2}\sqrt{a^2 + a^2 + 2a^2} = \dfrac{1}{2}\sqrt{4a^2} = a$