A E M B C H N S

Xét tam giác ABC có : \(BC=AB.\tan60^0=2a\sqrt{3}\Rightarrow S_{\Delta ABC}=2a^2\sqrt{3}\)

\(V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SA.S_{\Delta ABC}=\frac{1}{3}a\sqrt{3}.2a^2\sqrt{3}=2a^3\)

- Gọi N là trung điểm cạnh SA. Do SB//(CMN) nên d(SB. CM)=d(SB,(CMN))

                                                                                                 =d(B,(CMN))

                                                                                                 =d(A,(CMN))

- Kẻ \(AE\perp MC,E\in MC\) và kẻ \(AH\perp NE,H\in NE\), ta chứng minh được \(AH\perp\left(CMN\right)\Rightarrow d\left(A,\left(CMN\right)\right)=AH\)

Tính \(AE=\frac{2S_{\Delta AMC}}{MC}\) trong đó :

                              \(S_{\Delta AMC}=\frac{1}{2}AM.AC.\sin\widehat{CAM}=\frac{1}{2}a.4a\frac{\sqrt{3}}{2}=a^2\sqrt{3};MC=a\sqrt{13}\)

                             \(\Rightarrow AE=\frac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{13}}\)

Tính được \(AH=\frac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{29}}\Rightarrow d\left(A,\left(CMN\right)\right)=\frac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{29}}\Rightarrow d\left(SB,CM\right)=\frac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{29}}\)

Đáp án D

Diện tích đáy: $S_{ABC}=\dfrac{\sqrt3}{4}a^2$

Thể tích khối chóp lớn:

$V_{S.ABC} =\dfrac13 S_{ABC}\cdot SA$

$=\dfrac13\cdot\dfrac{\sqrt3}{4}a^2\cdot2a$

$=\dfrac{\sqrt3}{6}a^3$

Tính các cạnh:

$SB=\sqrt{SA^2+AB^2} =\sqrt{4a^2+a^2} =a\sqrt5$

$SC=\sqrt{SA^2+AC^2} =a\sqrt5$

Vì $M,N$ là hình chiếu của $A$ lên $SB,SC$ nên

$\dfrac{SM}{SB}=\dfrac{SN}{SC} =\dfrac{SA^2}{SB\cdot SC}$

$=\dfrac{4a^2}{5a^2} =\dfrac45$

Suy ra: $\dfrac{V_{S.AMN}}{V_{S.ABC}} =\left(\dfrac45\right)^2 =\dfrac{16}{25}$

$\Rightarrow V_{S.AMN} =\dfrac{16}{25}\cdot\dfrac{\sqrt3}{6}a^3 =\dfrac{8\sqrt3}{75}a^3$

Khối cần tìm:

$V_{A.BCNM} =V_{S.ABC}-V_{S.AMN}$

$=\dfrac{\sqrt3}{6}a^3-\dfrac{8\sqrt3}{75}a^3$

$=\dfrac{9\sqrt3}{50}a^3$

Đáp án A

Diện tích đáy: $S_{ABC}=\dfrac{\sqrt3}{4}a^2$

Thể tích khối chóp lớn:

$V_{S.ABC} =\dfrac13 S_{ABC}\cdot SA$

$=\dfrac13\cdot\dfrac{\sqrt3}{4}a^2\cdot2a$

$=\dfrac{\sqrt3}{6}a^3$

Tính các cạnh: $SB=\sqrt{SA^2+AB^2} =\sqrt{4a^2+a^2} =a\sqrt5$

$SC=\sqrt{SA^2+AC^2} =a\sqrt5$

Vì $M,N$ là hình chiếu của $A$ lên $SB,SC$ nên:

$\dfrac{SM}{SB}=\dfrac{SN}{SC} =\dfrac{SA^2}{SB\cdot SC}$

$=\dfrac{4a^2}{5a^2} =\dfrac45$

Suy ra tỉ số thể tích:

$\dfrac{V_{S.AMN}}{V_{S.ABC}} =\left(\dfrac45\right)^2 =\dfrac{16}{25}$

⇒ $V_{S.AMN} =\dfrac{16}{25}\cdot\dfrac{\sqrt3}{6}a^3 =\dfrac{8\sqrt3}{75}a^3$

Khối cần tìm:

$V_{A.BCNM} =V_{S.ABC}-V_{S.AMN}$

$=\dfrac{\sqrt3}{6}a^3-\dfrac{8\sqrt3}{75}a^3$

$=\dfrac{9\sqrt3}{50}a^3$

Phương pháp:

Tính thể tích  V S . A B C

Tính thể tích  V S . A M N  theo công thức tỉ lệ thể tích

Tính thể tích  V A . B C M N  và suy ra kết luận

Cách giải:

Xét tam giác SAB và SAC là các tam giác vuông tại A có hai cạnh góc vuông là a và 2a nên

Tam giác SAB vuông tại có đường cao AM

Khi đó  

Tương tự 

Lại có 

Mặt khác 

Do đó

Chọn C.

Diện tích đáy: $S_{ABC}=\dfrac{\sqrt3}{4}a^2$

Thể tích khối chóp lớn:

$V_{S.ABC} =\dfrac13 S_{ABC}\cdot SA$ $=\dfrac13\cdot\dfrac{\sqrt3}{4}a^2\cdot2a =\dfrac{\sqrt3}{6}a^3$

Tính cạnh: $SB=SC=\sqrt{SA^2+AB^2} =\sqrt{4a^2+a^2} =a\sqrt5$

Vì $M,N$ là hình chiếu: $\dfrac{SM}{SB}=\dfrac{SN}{SC} =\dfrac{SA^2}{SB\cdot SC} =\dfrac{4a^2}{5a^2} =\dfrac45$

=> $\dfrac{V_{S.AMN}}{V_{S.ABC}} =\left(\dfrac45\right)^2 =\dfrac{16}{25}$

⇒ $V_{S.AMN} =\dfrac{16}{25}\cdot\dfrac{\sqrt3}{6}a^3 =\dfrac{8\sqrt3}{75}a^3$

Thể tích cần tìm: $V_{A.BCMN} =V_{S.ABC}-V_{S.AMN}$ $=\dfrac{\sqrt3}{6}a^3-\dfrac{8\sqrt3}{75}a^3 =\dfrac{3\sqrt3}{50}a^3$

Tính: $\dfrac{50V}{\sqrt3 a^3} =\dfrac{50\cdot \frac{3\sqrt3}{50}a^3}{\sqrt3 a^3} =3$

Tam giác đáy $ABC$ vuông tại $B$ với $AB = 3a,\ BC = 4a$.

Suy ra:

$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{9a^2 + 16a^2} = 5a$.

Gọi $M$ là trung điểm của $AC$ nên:

$AM = CM = \dfrac{5a}{2}$.

Do $SA \perp (ABC)$ nên hình chiếu của $S$ xuống mặt phẳng đáy là điểm $A$.

Góc giữa $SC$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $60^\circ$ nên:

$\sin 60^\circ = \dfrac{SA}{SC}$

$\Rightarrow SC = \dfrac{SA}{\sin 60^\circ} = \dfrac{2SA}{\sqrt3}$.

Xét tam giác vuông $SAC$ tại $A$:

$SC^2 = SA^2 + AC^2$

$\Rightarrow \left(\dfrac{2SA}{\sqrt3}\right)^2 = SA^2 + (5a)^2$

$\Rightarrow \dfrac{4SA^2}{3} = SA^2 + 25a^2$

$\Rightarrow SA^2 = 75a^2$

$\Rightarrow SA = 5a\sqrt3$.

Đặt hệ trục tọa độ:

$B(0,0,0)$,
$A(3a,0,0)$,
$C(0,4a,0)$.

Suy ra:

$M\left(\dfrac{3a}{2},2a,0\right)$,
$S(3a,0,5a\sqrt3)$.

Vectơ chỉ phương của $AB$:

$\vec u = (1,0,0)$.

Vectơ chỉ phương của $SM$:

$\vec v = \left(-\dfrac{3a}{2},2a,-5a\sqrt3\right)$.

Tính tích có hướng:

$\vec u \times \vec v = (0,5a\sqrt3,2a)$,

$|\vec u \times \vec v| = a\sqrt{79}$.

Lấy vectơ nối từ $A$ đến $S$:

$\vec{AS} = (0,0,5a\sqrt3)$.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SM$ là:

$d(AB,SM)=\dfrac{|\vec{AS}\cdot(\vec u \times \vec v)|}{|\vec u \times \vec v|}$

$=\dfrac{10a^2\sqrt3}{a\sqrt{79}}$

$=\dfrac{10a\sqrt3}{\sqrt{79}}$.

Vậy $,\boxed{d(AB,SM)=\dfrac{10a\sqrt3}{\sqrt{79}}}$

x s K A N B H D C

Ta có : \(\widehat{SCH}\) là góc giữa SC và mặt phẳng (ABC). 

\(\Rightarrow\widehat{SCH}=60^0\)

Gọi D là trung điểm cạnh AB. Ta có :

\(HD=\frac{a}{6}\), CD= \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

\(HC=\sqrt{HD^2+CD^2}=\frac{a\sqrt{7}}{3}\)

\(SH=HC.\tan60^0=\frac{a\sqrt{21}}{3}\)

\(V_{s.ABC}=\frac{1}{3}.SH.S_{\Delta ABC}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{21}}{3}.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{a^3\sqrt{7}}{12}\)

Kẻ Ax song song với BC, gọi N, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên Ax và SN. Ta có BC song song với mặt phẳng (SAN) và \(BA=\frac{3}{2}HA\)

Nên \(d\left(SA.BC\right)=d\left(B,\left(SAN\right)\right)=\frac{3}{2}d\left(H.\left(SAN\right)\right)\)

\(AH=\frac{2a}{3}\); \(HN=AH.\sin60^0=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)

\(HK=\frac{SH.HN}{\sqrt{SH^2+HN^2}}=\frac{a\sqrt{42}}{12}\)

Vậy \(d\left(SA.BC\right)=\frac{a\sqrt{42}}{8}\)

Góc 60 là góc SCH. Dễ dàng tính được V
Trong (ABC), kẻ At // BC, Cz//AB, giao At=N
d(sa,bc)=d(bc, (SAN))=d(B, (SAN))=3/2 d(H, (SAN)).
Từ H kẻ HE vuông AN
 Trong (SHE) kẻ HF vuông SE
=> d(H(SAN))=HF

Tam giác đáy $ABC$ vuông tại $B$ với $AB = 3a$, $BC = 4a$.

=> $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{9a^2 + 16a^2} = 5a$.

Gọi $M$ là trung điểm của $AC$ nên:

$AM = CM = \dfrac{5a}{2}$.

Do $SA \perp (ABC)$ nên hình chiếu của $S$ xuống mặt phẳng đáy là điểm $A$.

Góc giữa $SC$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $60^\circ$ nên:

$\sin 60^\circ = \dfrac{SA}{SC}$

$\Rightarrow SC = \dfrac{SA}{\sin 60^\circ} = \dfrac{2SA}{\sqrt3}$.

Mà trong tam giác vuông $SAC$:

$SC^2 = SA^2 + AC^2$

$\Rightarrow \left(\dfrac{2SA}{\sqrt3}\right)^2 = SA^2 + (5a)^2$

$\Rightarrow \dfrac{4SA^2}{3} = SA^2 + 25a^2$

$\Rightarrow SA^2 = 75a^2$

$\Rightarrow SA = 5a\sqrt3$.

Đặt hệ trục tọa độ:

$B(0,0,0)$,
$A(3a,0,0)$,
$C(0,4a,0)$.

=> $M\left(\dfrac{3a}{2},2a,0\right)$,
$S(3a,0,5a\sqrt3)$.

Vectơ chỉ phương của $AB$: $\vec u = (3a,0,0)$.

Vectơ chỉ phương của $SM$: $\vec v = \left(-\dfrac{3a}{2},2a,-5a\sqrt3\right)$.

Tính tích có hướng:

$\vec u \times \vec v = (0,15a^2\sqrt3,6a^2)$,

$|\vec u \times \vec v| = 3a^2\sqrt{87}$.

Lấy vectơ nối từ $A$ đến $S$:

$\vec{AS} = (0,0,5a\sqrt3)$.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SM$:

$d(AB,SM)=\dfrac{|\vec{AS}\cdot(\vec u \times \vec v)|}{|\vec u \times \vec v|}$

$=\dfrac{30a^3\sqrt3}{3a^2\sqrt{87}}$

$=\dfrac{10a\sqrt3}{\sqrt{87}}$

$=\dfrac{10a}{\sqrt{29}}$.

Vậy $,\boxed{d(AB,SM)=\dfrac{10a}{\sqrt{29}}}$