Đáp án B.

Dựng tam giác đều IAB (I và C cùng phía bờ AB).

Ta có:

Qua I dựng đường thẳng song song với SA, cắt đường trung trực của SA tại O thì O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Gọi M là trung điểm của SA.

Ta có:

Vì $SA \perp (ABC)$ nên tam giác $SAB$, $SAC$ vuông tại $A$.

Xét tam giác $ABC$ cân tại $B$, ta có:
$AB = BC = a$, $\widehat{ABC} = 120^\circ$

Áp dụng định lý cosin trong tam giác $ABC$:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos 120^\circ$

$AC^2 = a^2 + a^2 - 2a^2 \cdot (-\dfrac{1}{2})$

$AC^2 = 3a^2 \Rightarrow AC = a\sqrt{3}$

Do $SA \perp (ABC)$ nên tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ nằm trên đường trung trực của đoạn $SA$.

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp thỏa mãn:

$R^2 = \left(\dfrac{SA}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{AC}{2}\right)^2$

Thay số: $R^2 = \left(\dfrac{2a}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2$

$R^2 = a^2 + \dfrac{3a^2}{4} = \dfrac{7a^2}{4}$

$\Rightarrow R = \dfrac{a\sqrt{7}}{2}$

Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$ nên: $AB = AC = a$

Gọi $D$ là trung điểm của $BC$ thì $D$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Ta có: $BD = CD = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$

Vì $SA \perp (ABC)$ và $SA = 2a$ nên hình chóp $S.ABC$ là hình chóp vuông tại $A$.

Gọi $O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$.

Do tính đối xứng, $O$ nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ đi qua $D$.

Xét mặt phẳng chứa $SA$ và $AD$.

Ta có: $AD = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$

Xét tam giác vuông $SAO$ tại $A$:

$AO^2 = AD^2 + AO_{\perp}^2 = \left(\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 + a^2 = \dfrac{a^2}{2} + a^2 = \dfrac{3a^2}{2}$

=> $R = AO = a\sqrt{\dfrac{3}{2}} = \dfrac{a\sqrt{6}}{2}$

Vậy Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ là: $R = \dfrac{a\sqrt{6}}{2}$

Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ nên: $AB = BC = a$.

=> $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.

Gọi $O$ là trung điểm của $AC$ thì $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
Do đó: $OA = OB = OC = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.

Vì $SA \perp (ABC)$ và $SA = 2a$ nên hình chóp $S.ABC$ vuông tại $A$.
Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là trung điểm $M$ của đoạn $SO$.

Ta tính: $SO = \sqrt{SA^2 + AO^2} = \sqrt{(2a)^2 + \left(\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{4a^2 + \dfrac{a^2}{2}} = \sqrt{\dfrac{9a^2}{2}} = \dfrac{3a}{\sqrt{2}}$.

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp: $R = \dfrac{SO}{2} = \dfrac{3a}{2\sqrt{2}} = \dfrac{3a\sqrt{2}}{4}$.

Chọn B

Vì mặt phẳng $(SBC) \perp (ABC)$ nên $SB \perp (ABC)$.

Do đó $SB \perp AB$, $SB \perp BC$.

Ta có: $SB = a$ và $BC = a$
=> tam giác $SBC$ vuông tại $B$.

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông $SBC$:

$SC^2 = SB^2 + BC^2$

$SC^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$

$\Rightarrow SC = a\sqrt{2}$

Ta có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$ nên
$AB = AC$, $BC$ là cạnh huyền.

Vì $BC = 3a$ nên $AB = AC = \dfrac{BC}{\sqrt{2}} = \dfrac{3a}{\sqrt{2}}$.

Gọi $O$ là trung điểm của $BC$ thì $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
=> $OA = OB = OC = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{3a}{2}$.

Do $SA \perp (ABC)$ và $SA = 2a$ nên hình chóp $S.ABC$ là hình chóp vuông tại $A$.

Khi đó, tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ là trung điểm $M$ của đoạn $SO$.

Bán kính mặt cầu: $R = MS = MO = \dfrac{SO}{2}$.

Ta có:
$SO = \sqrt{SA^2 + AO^2} = \sqrt{(2a)^2 + \left(\dfrac{3a}{2}\right)^2}$
$= \sqrt{4a^2 + \dfrac{9a^2}{4}}$
$= \sqrt{\dfrac{25a^2}{4}}$
$= \dfrac{5a}{2}$.

=> $R = \dfrac{SO}{2} = \dfrac{5a}{4}$.

Đáp án là C

Ta có:

Do đó 2 điểm A, B nhìn đoạn SC dưới một góc vuông. Suy ra mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. ABC là mặt cầu đường kính SC.

Xét tam giác ABC có 

suy ra 

Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên: $AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{a^2+3a^2}=2a$. Đặt hệ trục tọa độ: $B(0,0,0),\ A(a,0,0),\ C(0,a\sqrt3,0)$. Vì $SA\perp(ABC)$ và $SA=2a$ nên: $S(a,0,2a)$. Gọi $O(x,y,z)$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp. Từ $OA=OB$ suy ra: $(x-a)^2+y^2+z^2=x^2+y^2+z^2 \Rightarrow x=\dfrac a2$. Từ $OB=OC$ suy ra: $x^2+(y-a\sqrt3)^2+z^2=x^2+y^2+z^2 \Rightarrow y=\dfrac{a\sqrt3}{2}$. Từ $OA=OS$ suy ra: $z^2=(z-2a)^2 \Rightarrow z=a$. Vậy: $O\left(\dfrac a2,\dfrac{a\sqrt3}{2},a\right)$. Bán kính mặt cầu: $R=OA=\sqrt{\left(\dfrac a2\right)^2+\left(\dfrac{a\sqrt3}{2}\right)^2+a^2}$ $=\sqrt{\dfrac{a^2}{4}+\dfrac{3a^2}{4}+a^2}=\sqrt{2a^2}=a\sqrt2$. Vậy: $\boxed{R=a\sqrt2}$. Chọn đáp án B.

Đáp án đúng : C

Đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ nên:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 = a^2 + (2a)^2 = 5a^2 \Rightarrow AC = a\sqrt5$.

Do $SA \perp (ABC)$ nên tam giác $SAC$ vuông tại $A$, suy ra:

$SC^2 = SA^2 + AC^2 = (a\sqrt3)^2 + (a\sqrt5)^2 = 3a^2 + 5a^2 = 8a^2 \Rightarrow SC = 2a\sqrt2$.

Mặt khác: $SB^2 = SA^2 + AB^2 = 3a^2 + a^2 = 4a^2 \Rightarrow SB = 2a$.

Xét tam giác $SBC$:

$SB^2 + BC^2 = (2a)^2 + (2a)^2 = 4a^2 + 4a^2 = 8a^2 = SC^2$.

Suy ra $\triangle SBC$ vuông tại $B$, nên tâm mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm của $SC$.

Bán kính: $R = \dfrac{SC}{2} = a\sqrt2$.

Diện tích mặt cầu:

$S_{mc} = 4\pi R^2 = 4\pi (a\sqrt2)^2 = 8\pi a^2$.

Vậy $S_{mc} = 8\pi a^2$.

Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ nên $AB = BC = a$ và $AC = a\sqrt{2}$.

Gọi $O$ là trung điểm của $AC$ thì $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
=> $OA = OB = OC = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.

Vì $SA \perp (ABC)$ và $SA = a$ nên hình chóp $S.ABC$ là hình chóp vuông tại $A$.

Khi đó, tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp $S.ABC$ là trung điểm $M$ của đoạn $SO$.

Ta tính độ dài $SO$:
$SO = \sqrt{SA^2 + AO^2}$
$= \sqrt{a^2 + \left(\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2}$
$= \sqrt{a^2 + \dfrac{a^2}{2}}$
$= \sqrt{\dfrac{3a^2}{2}}$
$= a\sqrt{\dfrac{3}{2}}$.

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp:
$R = \dfrac{SO}{2} = \dfrac{a\sqrt{3/2}}{2} = \dfrac{a\sqrt{6}}{4}$.

Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên:

$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{a^2+3a^2}=2a$.

Đặt hệ trục tọa độ:

$B(0,0,0),\ A(a,0,0),\ C(0,a\sqrt3,0)$.

Vì $SA\perp(ABC)$ và $SA=2a$ nên:

$S(a,0,2a)$.

Gọi $O(x,y,z)$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp.

Từ $OA=OB$ suy ra:

$(x-a)^2+y^2+z^2=x^2+y^2+z^2$

$\Rightarrow x=\dfrac a2$.

Từ $OB=OC$ suy ra:

$x^2+(y-a\sqrt3)^2+z^2=x^2+y^2+z^2$

$\Rightarrow y=\dfrac{a\sqrt3}{2}$.

Từ $OA=OS$ suy ra:

$z^2=(z-2a)^2$

$\Rightarrow z=a$.

Vậy:

$O\left(\dfrac a2,\dfrac{a\sqrt3}{2},a\right)$.

Bán kính mặt cầu:

$R=OA=\sqrt{\left(\dfrac a2\right)^2+\left(\dfrac{a\sqrt3}{2}\right)^2+a^2}$

$=\sqrt{\dfrac{a^2}{4}+\dfrac{3a^2}{4}+a^2}=\sqrt{2a^2}=a\sqrt2$.

Vậy:

$\boxed{R=a\sqrt2}$.