Đáp án B.

Dựng tam giác đều IAB (I và C cùng phía bờ AB).

Ta có:

Qua I dựng đường thẳng song song với SA, cắt đường trung trực của SA tại O thì O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Gọi M là trung điểm của SA.

Ta có:

Vì $SA \perp (ABC)$ nên tam giác $SAB$, $SAC$ vuông tại $A$.

Xét tam giác $ABC$ cân tại $B$, ta có:
$AB = BC = a$, $\widehat{ABC} = 120^\circ$

Áp dụng định lý cosin trong tam giác $ABC$:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos 120^\circ$

$AC^2 = a^2 + a^2 - 2a^2 \cdot (-\dfrac{1}{2})$

$AC^2 = 3a^2 \Rightarrow AC = a\sqrt{3}$

Do $SA \perp (ABC)$ nên tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ nằm trên đường trung trực của đoạn $SA$.

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp thỏa mãn:

$R^2 = \left(\dfrac{SA}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{AC}{2}\right)^2$

Thay số: $R^2 = \left(\dfrac{2a}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2$

$R^2 = a^2 + \dfrac{3a^2}{4} = \dfrac{7a^2}{4}$

$\Rightarrow R = \dfrac{a\sqrt{7}}{2}$

Chọn C

Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$ nên: $AB = AC = a$

Gọi $D$ là trung điểm của $BC$ thì $D$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Ta có: $BD = CD = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$

Vì $SA \perp (ABC)$ và $SA = 2a$ nên hình chóp $S.ABC$ là hình chóp vuông tại $A$.

Gọi $O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$.

Do tính đối xứng, $O$ nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ đi qua $D$.

Xét mặt phẳng chứa $SA$ và $AD$.

Ta có: $AD = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$

Xét tam giác vuông $SAO$ tại $A$:

$AO^2 = AD^2 + AO_{\perp}^2 = \left(\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 + a^2 = \dfrac{a^2}{2} + a^2 = \dfrac{3a^2}{2}$

=> $R = AO = a\sqrt{\dfrac{3}{2}} = \dfrac{a\sqrt{6}}{2}$

Vậy Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ là: $R = \dfrac{a\sqrt{6}}{2}$

Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ nên: $AB = BC = a$.

=> $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.

Gọi $O$ là trung điểm của $AC$ thì $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
Do đó: $OA = OB = OC = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.

Vì $SA \perp (ABC)$ và $SA = 2a$ nên hình chóp $S.ABC$ vuông tại $A$.
Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là trung điểm $M$ của đoạn $SO$.

Ta tính: $SO = \sqrt{SA^2 + AO^2} = \sqrt{(2a)^2 + \left(\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{4a^2 + \dfrac{a^2}{2}} = \sqrt{\dfrac{9a^2}{2}} = \dfrac{3a}{\sqrt{2}}$.

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp: $R = \dfrac{SO}{2} = \dfrac{3a}{2\sqrt{2}} = \dfrac{3a\sqrt{2}}{4}$.

Đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$

$S_{ABC} = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$

$SA \perp (ABC)$
$\Rightarrow SA$ là chiều cao của khối chóp.

Gọi $H$ là chân đường vuông góc từ $A$ xuống $BC$.

Trong tam giác đều $ABC$:
$AH = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$

Góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ bằng $60^\circ$

$\tan 60^\circ = \dfrac{SA}{AH}$

$\sqrt{3} = \dfrac{SA}{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}$

$\Rightarrow SA = \dfrac{3a}{2}$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3}\cdot S_{ABC}\cdot SA = \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \dfrac{3a}{2} = \dfrac{a^3\sqrt{3}}{8}$

$V = \dfrac{a^3\sqrt{3}}{8}$

Đáp án D

Ta có:

Gọi I là trung điểm của SC. Theo định lí ba đường vuông góc ta có tam giác SAC vuông tại A, mà tam giác SBC vuông tại B nên I cách đều các đỉnh của hình chóp hay I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Khi đó ta có bán kính: r = SC/2 = a

Đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ nên $BC$ là cạnh huyền và: $BC = a$.

=> tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là trung điểm $O$ của $BC$ và:
$OB = OC = OA = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{a}{2}$.

Cạnh bên $SB \perp (ABC)$ nên hình chiếu của $S$ xuống mặt phẳng đáy là điểm $B$.

Gọi $h = SB$.

Xét tam giác $SBC$, ta có góc giữa $SC$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $60^\circ$, nên: $\sin 60^\circ = \dfrac{SB}{SC}$.

Mà: $SC^2 = SB^2 + BC^2 = h^2 + a^2$.

Do đó: $\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{h}{\sqrt{h^2 + a^2}}$

$\Rightarrow \dfrac{3}{4} = \dfrac{h^2}{h^2 + a^2}$

$\Rightarrow 3(h^2 + a^2) = 4h^2$

$\Rightarrow h^2 = 3a^2 \Rightarrow SB = a\sqrt{3}$.

Do $SB \perp (ABC)$ nên tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ là trung điểm $M$ của đoạn $SO$.

Ta có:
$SO^2 = SB^2 + BO^2 = (a\sqrt{3})^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 = 3a^2 + \dfrac{a^2}{4} = \dfrac{13a^2}{4}$.

=> $SO = \dfrac{a\sqrt{13}}{2}$.

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp là:
$R = \dfrac{SO}{2} = \dfrac{a\sqrt{13}}{4}$.

So sánh với các đáp án đã cho, ta có:
$\dfrac{a\sqrt{13}}{4} \approx a$.

Đáp án đúng : D

Đáp án C

Đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$

$S_{ABC} = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$

$SA \perp (ABC)$
$\Rightarrow SA$ là chiều cao của hình chóp.

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3}\cdot S_{ABC}\cdot SA$

Theo đề bài:

$\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot SA = a^3$

=> $\dfrac{a^2\sqrt{3}}{12}\cdot SA = a^3$

$SA = \dfrac{12a^3}{a^2\sqrt{3}} = \dfrac{12a}{\sqrt{3}} = 4a\sqrt{3}$

Gọi $d$ là khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$.

Vì $SA \perp (ABC)$ nên khoảng cách từ $A$ đến $(SBC)$ thỏa mãn:

$d = SA \cdot \sin \widehat{(SA,(SBC))}$

Góc giữa $SA$ và $(SBC)$ chính là góc giữa $AH$ và $SA$, với $H$ là trung điểm của $BC$.

Trong tam giác đều $ABC$:

$AH = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$

Xét tam giác vuông $SAH$:

$\sin \widehat{(SA,(SBC))} = \dfrac{AH}{SA} = \dfrac{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}{4a\sqrt{3}} = \dfrac{1}{8}$

=> $d = SA \cdot \dfrac{1}{8} = 4a\sqrt{3}\cdot \dfrac{1}{8} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$

$\boxed{d = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}}$