Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $C$ nên: $AB = a$ là cạnh huyền
Ta có: $SA \perp (ABC)$ và $SA = 3a$
Vì $SA \perp (ABC)$ nên:
$SA \perp AC,\ SA \perp BC$
Suy ra hình chóp $S.ABC$ là hình chóp vuông tại A.
Trong hình chóp vuông, tâm mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm của đoạn nối từ đỉnh vuông góc đến tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.
Với tam giác vuông $ABC$, tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của cạnh huyền $AB$.
Gọi $O$ là trung điểm của $AB$.
Khi đó:
$OA = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{a}{2}$
Xét tam giác vuông $SAO$ tại $A$:
$SO^2 = SA^2 + OA^2$
$SO^2 = (3a)^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2$
$SO^2 = 9a^2 + \dfrac{a^2}{4}$
$SO^2 = \dfrac{36a^2 + a^2}{4} = \dfrac{37a^2}{4}$
$\Rightarrow SO = \dfrac{\sqrt{37}}{2}a$
$SO$ chính là bán kính mặt cầu ngoại tiếp:
$R = \dfrac{\sqrt{37}}{2}a$
Thể tích khối cầu:
$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$
$V = \dfrac{4}{3}\pi \left(\dfrac{\sqrt{37}}{2}a\right)^3$
$V = \dfrac{4}{3}\pi \cdot \dfrac{37\sqrt{37}}{8}a^3$
$V = \dfrac{37\sqrt{37}}{6}\pi a^3$
Vậy Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp là: $V = \dfrac{37\sqrt{37}}{6}\pi a^3$
Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ nên: $AB = BC = a$
$\Rightarrow AC = a\sqrt2$
Do $SA \perp (ABC)$ nên $SA \perp AB,\ SA \perp BC$.
Gọi $H,\ K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SB$ và $SC$.
Khi đó: $AH \perp SB,\ AK \perp SC$
=> $\angle AHB = \angle AKB = 90^\circ$
Xét tứ diện $A.HKB$.
Ta có:
$AH \perp SB$ và $BH \subset SB \Rightarrow AH \perp BH$
$\Rightarrow \triangle AHB$ vuông tại $H$
Tương tự, $\triangle AKB$ vuông tại $K$
Do đó, bốn điểm $A,H,K,B$ cùng nằm trên mặt cầu đường kính $AB$.
Suy ra mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $A.HKB$ có:
- Đường kính: $AB = a$
- Bán kính: $R = \dfrac{a}{2}$
Thể tích khối cầu:
$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$
$V = \dfrac{4}{3}\pi \left(\dfrac{a}{2}\right)^3$
$V = \dfrac{4}{3}\pi \cdot \dfrac{a^3}{8}$
$V = \dfrac{\pi a^3}{6}$
Vậy Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp $A.HKB$ là: $V = \dfrac{\pi a^3}{6}$
Đáp án B
Gọi I, E, F lần lượt là trung điểm của AC, AB, HC. IE là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác AHB, IF là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác HKC.
⇒ IA=IB=IC=IH=IK
Suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AHKB.
Suy ra bán kính R= a 2 2
Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ nên: $AB = BC = a$
Do $SA \perp (ABC)$ nên: $SA \perp AB,\ SA \perp BC$
Gọi $H,\ K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên các cạnh $SB,\ SC$.
Khi đó: $AH \perp SB,\ AK \perp SC$
=> $\angle AHB = 90^\circ,\ \angle AKB = 90^\circ$
Xét tứ diện $A.HKB$.
Ta có:
$AH \perp SB$ và $BH \subset SB \Rightarrow AH \perp BH$
$\Rightarrow \triangle AHB$ vuông tại $H$
Tương tự, $\triangle AKB$ vuông tại $K$
Vậy bốn điểm $A,H,K,B$ cùng nằm trên mặt cầu có đường kính $AB$.
Do đó:
- Đường kính mặt cầu: $AB = a$
- Bán kính mặt cầu: $R = \dfrac{a}{2}$
Thể tích khối cầu:
$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$
$V = \dfrac{4}{3}\pi \left(\dfrac{a}{2}\right)^3$
$V = \dfrac{4}{3}\pi \cdot \dfrac{a^3}{8}$
$V = \dfrac{\pi a^3}{6}$
Vậy Thể tích khối cầu cần tìm là: $V = \dfrac{\pi a^3}{6}$
Vì $ABC$ vuông cân tại $B$ nên $AB=BC=a$
Do $SA\perp(ABC)$ nên $SA\perp AB,\ SA\perp BC$
$H$ là hình chiếu của $A$ lên $SB$ nên $AH\perp SB$
$K$ là hình chiếu của $A$ lên $SC$ nên $AK\perp SC$
Suy ra: $\widehat{AHB}=90^\circ$
$\widehat{AKB}=90^\circ$
Do đó các điểm $A,H,K,B$ cùng nằm trên mặt cầu có đường kính $AB$.
Bán kính mặt cầu: $R=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{a}{2}$
Thể tích khối cầu:
$V=\dfrac{4}{3}\pi R^3$ $=\dfrac{4}{3}\pi\left(\dfrac{a}{2}\right)^3$ $=\dfrac{\pi a^3}{6}$
Mình không thạo vẽ hình trên này nên bạn tự vẽ hình nhé.
Gọi K là hình chiếu vuông góc của S trên BC.
Giả sử \(\overrightarrow{CK}=x\overrightarrow{CB}\left(0< x< 1\right)\)
Đặt \(SC=ka\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}BC=a\sqrt{k^2+4}\\AC=a\sqrt{k^2+8}\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(\dfrac{1}{SK^2}=\dfrac{1}{SB^2}+\dfrac{1}{SC^2}=\dfrac{1}{\left(2a\right)^2}+\dfrac{1}{\left(ka\right)^2}\)
\(\Rightarrow SK=\dfrac{2ka}{\sqrt{k^2+4}}\)
Ta có:
\(\left(\left(SBC\right);\left(ABC\right)\right)=45^0\)
\(\Rightarrow\left(AB;SK\right)=45^0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{SK}}{AB.SK}=cos45^0\Leftrightarrow\dfrac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{SK}}{AB.SK}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
Lại có:
\(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{SK}=\left(\overrightarrow{SB}-\overrightarrow{SA}\right).\left[x\overrightarrow{SB}+\left(1-x\right)\overrightarrow{SC}\right]\)
\(=xSB^2-x\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SB}+\left(x-1\right).\overrightarrow{SC}.\overrightarrow{SA}\)
\(=x.4a^2-x.4a^2.\dfrac{1}{2}+\left(x-1\right).\dfrac{4a^2+k^2a^2-a^2\left(k^2+8\right)}{2}\)
\(=2xa^2+\left(x-1\right).\left(-2a^2\right)=2a^2\)
\(\Rightarrow\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{2a^2}{2a.\dfrac{2ka}{\sqrt{k^2+4}}}\Leftrightarrow k=2\)
Do đó:
\(\left\{{}\begin{matrix}SC=2a\\BC=2a\sqrt{2}\\AC=2a\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)
Ta có:
\(R=\sqrt{R_{SAB}^2+R_{ABC}^2-\dfrac{AB^2}{4}}\)
\(=\sqrt{\left(\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}\right)^2+\left(a\sqrt{3}\right)^2-\dfrac{\left(2a\right)^2}{4}}=\dfrac{a\sqrt{30}}{3}\)
\(\Rightarrow S=4\pi R^2=4\pi.\dfrac{10}{3}a^2=\dfrac{40}{3}\pi a^2\)
dạ em nhờ các anh chị, các bạn giải giúp mình bài toán này với ạ!
Đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ nên:
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = a^2 + (2a)^2 = 5a^2 \Rightarrow AC = a\sqrt5$.
Do $SA \perp (ABC)$ nên tam giác $SAC$ vuông tại $A$, suy ra:
$SC^2 = SA^2 + AC^2 = (a\sqrt3)^2 + (a\sqrt5)^2 = 3a^2 + 5a^2 = 8a^2 \Rightarrow SC = 2a\sqrt2$.
Mặt khác: $SB^2 = SA^2 + AB^2 = 3a^2 + a^2 = 4a^2 \Rightarrow SB = 2a$.
Xét tam giác $SBC$:
$SB^2 + BC^2 = (2a)^2 + (2a)^2 = 4a^2 + 4a^2 = 8a^2 = SC^2$.
Suy ra $\triangle SBC$ vuông tại $B$, nên tâm mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm của $SC$.
Bán kính: $R = \dfrac{SC}{2} = a\sqrt2$.
Diện tích mặt cầu:
$S_{mc} = 4\pi R^2 = 4\pi (a\sqrt2)^2 = 8\pi a^2$.
Vậy $S_{mc} = 8\pi a^2$.
Đáp án B
Từ giả thiết ta có SO là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và SA=SB=a. Trong mặt phẳng (SAO), trung trực của cạnh SA cắt SO tại I thì I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Khi đó ta tính được: