Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$ nên:

$AB = AC = a \Rightarrow BC = a\sqrt2$.

Diện tích đáy: $S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AB \cdot AC = \dfrac{1}{2}a^2$.

Mặt bên $SBC$ là tam giác vuông cân tại $S$ nên:

$SB = SC$ và $BC = SB\sqrt2 \Rightarrow SB = SC = a$.

Gọi $H$ là trung điểm của $BC$ thì trong tam giác vuông cân:

$SH \perp BC$ và $SH = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{a\sqrt2}{2}$.

Vì $(SBC)\perp(ABC)$ nên $SH \perp (ABC)$, do đó $SH$ là chiều cao của khối chóp.

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac13 S_{ABC} \cdot SH= \dfrac13 \cdot \dfrac{a^2}{2} \cdot \dfrac{a\sqrt2}{2}= \dfrac{a^3\sqrt2}{12}$.

Vậy $V = \dfrac{a^3\sqrt2}{12}$.

Chọn đáp án A.

Đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, $AB = a$, $BC = a\sqrt3$.

Suy ra: $AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{3a^2 - a^2} = a\sqrt2$.

Diện tích đáy:

$S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AB \cdot AC = \dfrac{1}{2}\cdot a \cdot a\sqrt2 = \dfrac{a^2\sqrt2}{2}$.

Tam giác $SAB$ đều cạnh $a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với $(ABC)$ nên:

$SA = SB = AB = a$ và $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với $(ABC)$ tại trung điểm $M$ của $AB$.

Trong tam giác đều $SAB$:

$SM = \dfrac{\sqrt3}{2}a$.

Vì $(SAB) \perp (ABC)$ nên $SM \perp (ABC)$, do đó $SM$ là chiều cao của khối chóp.

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac13 S_{ABC} \cdot SM= \dfrac13 \cdot \dfrac{a^2\sqrt2}{2} \cdot \dfrac{a\sqrt3}{2}= \dfrac{a^3\sqrt6}{12}$.

Vậy $V = \dfrac{a^3\sqrt6}{12}$.

Chọn đáp án C.

Đáp án A

Gọi M là trung điểm AB khi đó S M ⊥ A B ⇒ S M ⊥ A B C  

Ta có: S M = a 3 2  (độ dài đường cao trong tam giác đều);

d t A B C = 1 2 A B . A C . sin 120 0 = 3 4 a 2  

Vậy thể tích của khối chop là:

V S . A B C = 1 3 S M . d t A B C = 1 3 a 3 2 a 2 3 4 = a 3 8

Đáy $ABC$ là tam giác cân tại $A$ với $AB = AC = a$, $\widehat{BAC} = 120^\circ$.

Diện tích đáy:

$S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AB \cdot AC \cdot \sin 120^\circ= \dfrac{1}{2}\cdot a \cdot a \cdot \dfrac{\sqrt3}{2}= \dfrac{a^2\sqrt3}{4}$.

Tam giác $SAB$ đều cạnh $a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với $(ABC)$ nên:

$SA = SB = AB = a$ và $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với $(ABC)$ tại trung điểm $M$ của $AB$.

Trong tam giác đều $SAB$:

$SM = \dfrac{\sqrt3}{2}a$.

Vì $(SAB) \perp (ABC)$ nên $SM \perp (ABC)$, do đó $SM$ là chiều cao của khối chóp.

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac13 S_{ABC} \cdot SM= \dfrac13 \cdot \dfrac{a^2\sqrt3}{4} \cdot \dfrac{a\sqrt3}{2}= \dfrac{a^3}{8}$.

Vậy $V = \dfrac{a^3}{8}$.

Chọn đáp án A.

Gọi H là trung điểm của AB.

∆   S A B đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với

Chọn D.

Đáy $ABC$ là tam giác cân tại $A$ với $AB = AC = a$, $\widehat{BAC} = 120^\circ$.

Diện tích đáy:

$S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AB \cdot AC \cdot \sin 120^\circ= \dfrac{1}{2}\cdot a \cdot a \cdot \dfrac{\sqrt3}{2}= \dfrac{a^2\sqrt3}{4}$.

Tam giác $SAB$ đều cạnh $a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với $(ABC)$ nên:

$SA = SB = AB = a$ và $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với $(ABC)$ tại trung điểm $M$ của $AB$.

Trong tam giác đều $SAB$:

$SM = \dfrac{\sqrt3}{2}a$.

Vì $(SAB) \perp (ABC)$ nên $SM \perp (ABC)$, do đó $SM$ là chiều cao của khối chóp.

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac13 S_{ABC} \cdot SM= \dfrac13 \cdot \dfrac{a^2\sqrt3}{4} \cdot \dfrac{a\sqrt3}{2}= \dfrac{a^3}{8}$.

Vậy $V = \dfrac{a^3}{8}$.

Chọn đáp án D.

Chọn C

Đáy $ABC$ là tam giác cân tại $A$ với $AB = AC = a$, $\widehat{BAC} = 120^\circ$.

Diện tích đáy:

$S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AB \cdot AC \cdot \sin 120^\circ= \dfrac{1}{2}\cdot a \cdot a \cdot \dfrac{\sqrt3}{2}= \dfrac{a^2\sqrt3}{4}$.

Tam giác $SAB$ đều cạnh $a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với $(ABC)$ nên:

$SA = SB = AB = a$ và $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với $(ABC)$ tại trung điểm $M$ của $AB$.

Trong tam giác đều $SAB$: $SM = \dfrac{\sqrt3}{2}a$.

Vì $(SAB) \perp (ABC)$ nên $SM \perp (ABC)$, do đó $SM$ là chiều cao của khối chóp.

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac13 S_{ABC} \cdot SM= \dfrac13 \cdot \dfrac{a^2\sqrt3}{4} \cdot \dfrac{a\sqrt3}{2}= \dfrac{a^3}{8}$.

Vậy $V = \dfrac{a^3}{8}$.

Chọn đáp án C.

Đáp án B

Ta có: O là giao điểm của trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và SAB.

Ta có: O G = 1 3 S M = 3 6 ; M G = C M 3 = 3 6  

R = S O = M G 2 + S G 2 = 3 6 + 1 3 = 15 6

Cách 2: Áp dụng CT giải nhanh trong trường hợp S A B ⊥ A B C  ta có:

R 2 = R 2 A B C + R 2 S A B − A B 2 4 = 1 2 3 + 1 2 3 − 1 4 = 2 3 − 1 4 = 5 12 ⇒ R = 15 6 .  

Vậy V = 4 3 π R 3 = 5 15 π 54 .

Đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ nên tâm $O$ của đường tròn ngoại tiếp:

$OA = OB = OC = \dfrac{a}{\sqrt3}$.

Tam giác $SAB$ đều cạnh $a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với $(ABC)$ nên:

$SA = SB = AB = a$ và $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với $(ABC)$ tại trung điểm $M$ của $AB$.

Trong tam giác đều $SAB$:

$SM = \dfrac{\sqrt3}{2}a$.

Mặt khác: $OM = \sqrt{OA^2 - AM^2} = \sqrt{\left(\dfrac{a}{\sqrt3}\right)^2 - \left(\dfrac{a}{2}\right)^2}= \sqrt{\dfrac{a^2}{3} - \dfrac{a^2}{4}}= \dfrac{a}{2\sqrt3}$.

=> $SO^2 = SM^2 + OM^2= \dfrac{3a^2}{4} + \dfrac{a^2}{12}= \dfrac{10a^2}{12}= \dfrac{5a^2}{6}$

$\Rightarrow SO = a\sqrt{\dfrac{5}{6}}$.

Tâm mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm $I$ của $SO$ nên:

$R = \dfrac{SO}{2} = \dfrac{a}{2}\sqrt{\dfrac{5}{6}}$.

Thể tích khối cầu:

$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3= \dfrac{4}{3}\pi \left(\dfrac{a}{2}\sqrt{\dfrac{5}{6}}\right)^3= \dfrac{4}{3}\pi \cdot \dfrac{a^3}{8} \cdot \left(\dfrac{5}{6}\right)^{\frac{3}{2}}= \dfrac{a^3\pi}{6}\cdot \dfrac{5\sqrt{30}}{36}= \dfrac{5\sqrt{30}\pi a^3}{216}$.

Vậy $V = \dfrac{5\sqrt{30}\pi a^3}{216}$.

Chọn đáp án B.

Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ nên:

$AB = BC = a \Rightarrow S_{ABC} = \dfrac{1}{2}a^2$.

Do $SA \perp (ABC)$ nên $SA$ là chiều cao của khối chóp.

Góc giữa $SC$ và mặt phẳng đáy bằng $60^\circ$ nên:

$\tan 60^\circ = \dfrac{SA}{AC}$.

Trong tam giác vuông cân $ABC$:

$AC = a\sqrt2$.

Suy ra:

$\sqrt3 = \dfrac{SA}{a\sqrt2} \Rightarrow SA = a\sqrt6$.

Thể tích khối chóp $S.ABC$ là:

$V = \dfrac13 S_{ABC} \cdot SA$

$= \dfrac13 \cdot \dfrac{1}{2}a^2 \cdot a\sqrt6$

$= \dfrac{a^3\sqrt6}{6}

= \dfrac{a^3\sqrt3}{6}\cdot \sqrt2$.

Vậy $V = \dfrac{a^3\sqrt6}{6}$.

Chọn đáp án B.