Đáp án A

Đáp án B

Hình chiếu của S xuống đáy ABC là tâm của đáy tức là M với M là trung điểm của BC.

Ta có 

Vì ABC là tam giác vuông cân nên H cũng là trung điểm của  vì thế 

Ta có:  =  a 2 2

Đáp án B

Gọi I là hình chiếu của điểm S trên mặt phẳng (ABC). Do SA = SB = SC nên IA = IB = IC => I là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC . Mà  ∆ ABC vuông cân tại A nên I là trung điểm của BC và IA = IB = IC = BC/2 =  a 2 2

Ta có IA là hình chiếu của SA trên mặt phẳng (ABC) nên 

Do ∆ SIA vuông tại I nên  vuông cân tại I, khi đó :

Do SA ⊥ (ABCD) ⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp AB\\SA\perp AC\\SA\perp BC\end{matrix}\right.\)

Mà BC ⊥ AC ⇒ BC ⊥ (SAC) ⇒ BC ⊥ SC và BC ⊥ AH

Do BC ⊥ AH và AH ⊥ SC ⇒ AH ⊥ (SBC) ⇒ AH ⊥ KH ⇒ \(\widehat{AHK}=90^0\)

ΔSAB và ΔSAC vuông tại A

Mà AH và AK lần lượt là đường cao của ΔSAB và ΔSAC

⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}SA^2=SK.SB\\SA^2=SH.SC\end{matrix}\right.\)

⇒ SK . SB = SH . SC

⇒ \(\dfrac{SK}{SH}=\dfrac{SC}{SB}\) ⇒ ΔSKH \(\sim\) ΔSCB ⇒ \(\widehat{SKH}=\widehat{SCB}=90^0\)

⇒ HK ⊥ SB

Mà AK⊥ SB

⇒ ((SAB),(SCB)) = (AK,AH) = \(\widehat{KAH}\) = 45⁰ (đây là góc nhọn, vì \(\widehat{AHK}=90^0\))

⇒ ΔHAK vuông cân tại H ⇒ AK = \(\sqrt{2}AH\)

Ta có : \(\dfrac{S_{SAC}}{S_{SAB}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}.AH.SC}{\dfrac{1}{2}AK.SB}=\dfrac{\dfrac{1}{2}.SA.AC}{\dfrac{1}{2}.SA.AB}\)

⇒ \(\dfrac{AH.SC}{AK.SB}=\dfrac{SA.AC}{SA.AB}\)

⇒ \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) . \(\dfrac{SC}{SB}\) = \(\dfrac{AC}{AB}\). Mà AC = a và AB = 2a

⇒ \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)\(\dfrac{SC}{SB}\) = \(\dfrac{1}{2}\) ⇒ \(\dfrac{SC^2}{SB^2}\) = \(\dfrac{1}{2}\) . Mà SB² - SC² = BC² = 3a²

⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}SC^2=3a^2\\SB^2=6a^2\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}SB=a\sqrt{6}\\SC=a\sqrt{3}\end{matrix}\right.\) ⇒ SA = a\(\sqrt{2}\)

Từ đó ta tính được SH = \(\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}\) và SK = \(\dfrac{a\sqrt{6}}{3}\)

Gọi M là trung điểm của SB thì ta có CM // HK (cùng vuông góc với SB)

Khoảng cách từ HK đến AC bằng khoảng cách từ HK đến (AMC)

bn ơi cho mình hỏi sao gọi M là tđ sb thì suy ra cm ss vs hk dc nhỉ

+) Hình chiếu vuông góc của SI trên mặt phẳng (ABC) là AI nên góc giữa SI và mặt phẳng (ABC) là:

(vì tam giác SIA vuông tại A nên góc SIA nhọn) ⇒ 

+) Xét tam giác SIA vuông tại A,   nên:

+) Dựng hình bình hành ACBD, tam giác ABC đều nên tam giác ABD đều.

+) Ta có:

   AC // BD; BD ⊂ (SBD) nên AC // (SBD).

   mà SB ⊂ (SBD) nên d(AC, SB) = d(A, (SBD)).

- Gọi K là trung điểm đoạn BD, tam giác ABD đều suy ra AK ⊥ BD và  mà BD ⊥ SA nên BD ⊥ (SAK).

- Dựng AH ⊥ SK; H ∈ SK.

- Lại có AH ⊥ BD suy ra AH ⊥ (SBD).

- Vậy d(A, (SBD)) = AH.

- Xét tam giác SAK vuông tại vuông tại A, đường cao AH ta có:

- Vậy d(AC, SB) = d(A, (SBD)) 

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0), B(a,0,0), C\left(\dfrac{a}{2}, \dfrac{a\sqrt{3}}{2},0\right)$

Đỉnh $S$ vuông góc với đáy ⇒ $S = (x_S, y_S, h)$. Vì tam giác đều đáy, thuận tiện đặt $S$ thẳng đứng trên trọng tâm $G$ của $\triangle ABC$:

$G = \dfrac{A+B+C}{3} = \left(\dfrac{0 + a + a/2}{3}, \dfrac{0 + 0 + a\sqrt{3}/2}{3},0\right) = \left(\dfrac{a}{2}, \dfrac{a\sqrt{3}}{6},0\right)$

Vậy $S = (a/2, a\sqrt{3}/6, h)$

Trung điểm $I$ của $BC$:

$I = \left(\dfrac{a + a/2}{2}, \dfrac{0 + a\sqrt{3}/2}{2}, 0\right) = \left(\dfrac{3a}{4}, \dfrac{a\sqrt{3}}{4},0\right)$

Góc giữa $SI$ và mặt phẳng đáy:

$\tan 60^\circ = \dfrac{SI_z}{\text{chiều dài hình chiếu của SI trên đáy}}$

Hình chiếu $\vec{SI}_{xy} = I - (x_S,y_S) = \left(\dfrac{3a}{4}-\dfrac{a}{2}, \dfrac{a\sqrt{3}}{4} - \dfrac{a\sqrt{3}}{6}\right) = \left(\dfrac{a}{4}, \dfrac{a\sqrt{3}}{12}\right)$

$|\vec{SI}_{xy}| = \sqrt{(a/4)^2 + (a\sqrt{3}/12)^2} = \sqrt{\dfrac{a^2}{16} + \dfrac{a^2 \cdot 3}{144}} = \sqrt{\dfrac{a^2}{16} + \dfrac{a^2}{48}} = \sqrt{\dfrac{4 a^2}{48}} = \dfrac{a}{\sqrt{12}} = \dfrac{a \sqrt{3}}{6}$

Vậy $SI_z = \tan 60^\circ \cdot |\vec{SI}_{xy}| = \sqrt{3} \cdot \dfrac{a \sqrt{3}}{6} = \dfrac{a}{2}$

⇒ $S = (a/2, a\sqrt{3}/6, a/2)$

Vector:

$\vec{SB} = B - S = \left(a - a/2, 0 - a\sqrt{3}/6, 0 - a/2\right) = \left(a/2, -a\sqrt{3}/6, -a/2\right)$

$\vec{AC} = C - A = \left(a/2 - 0, a\sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0\right) = \left(a/2, a\sqrt{3}/2,0\right)$

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo $SB$ và $AC$:

$d = \dfrac{| \vec{SB} \times \vec{AC} \cdot \vec{SA} |}{|\vec{SB} \times \vec{AC}|}$

Với $\vec{SA} = A - S = (-a/2, -a\sqrt{3}/6, -a/2)$

Tính tích có hướng:

$\vec{SB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ a/2 & -a\sqrt{3}/6 & -a/2 \\ a/2 & a\sqrt{3}/2 & 0 \end{vmatrix} = (a^2 \sqrt{3}/4, -a^2/4, a^2 \sqrt{3}/6)$

$|\vec{SB} \times \vec{AC}| = a^2 \sqrt{7}/12$

$\vec{SB} \times \vec{AC} \cdot \vec{SA} = a^3 \sqrt{7}/24$

Vậy:

$d = \dfrac{a^3 \sqrt{7}/24}{a^2 \sqrt{7}/12} = a/2$

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng $SB$ và $AC$ là:

$d = a/2$

ĐÁP ÁN: B

a.

Do \(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow SA\perp BC\\AB\perp BC\left(gt\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\)

\(\Rightarrow BC\perp SB\)

b.

\(SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow AC\) là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABC)

\(\Rightarrow\widehat{SCA}\) là góc giữa SC và (ABC)

\(AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=a\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow tan\widehat{SCA}=\dfrac{SA}{AC}=1\Rightarrow\widehat{SCA}=45^0\)

Gọi K là trung điểm của SA
=>KM//SC

=>SC//(KMB)

d(SC;BM)=d(S;(KBM))=SK/SA*d(A;(KBM))=d(A;(KBM))

=>ΔABC đều

=>BM vuông góc AC

=>BM vuông góc (SAC)

Kẻ AQ vuông góc KM

=>AQ vuông góc (KMB)

=>d(A;(KMB))=AQ

\(SC=\sqrt{9a^2+4a^2}=a\sqrt{13}\)

KM=1/2SC=a*căn 3/2

=>\(AQ=\dfrac{3\sqrt{13}}{13}\)

=>d(BM;SC)=3*căn 13/13