Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ nên:
$AB = BC = 2 \Rightarrow AC = 2\sqrt2$.
Các cạnh bên: $SA = SB = SC = 2$.
Đặt hệ trục tọa độ: $B(0,0,0),\ A(2,0,0),\ C(0,2,0)$.
Gọi $S(x,y,z)$ thỏa:
$SB^2 = x^2 + y^2 + z^2 = 4$.
Từ $SA^2 = 4 \Rightarrow (x-2)^2 + y^2 + z^2 = 4 \Rightarrow x = 1$.
Từ $SC^2 = 4 \Rightarrow x^2 + (y-2)^2 + z^2 = 4 \Rightarrow y = 1$.
Thay vào: $1 + 1 + z^2 = 4 \Rightarrow z^2 = 2 \Rightarrow z = \sqrt2$.
Suy ra $S(1,1,\sqrt2)$.
Do $SA = SB = SC = 2$ nên tâm mặt cầu ngoại tiếp là điểm $S$ đối xứng với $B$ qua tâm $I$, suy ra:
$I\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2},\dfrac{\sqrt2}{2}\right)$.
Bán kính:
$R = IB = \sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{\sqrt2}{2}\right)^2} = \sqrt{\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2}} = 1$.
Thể tích khối cầu:
$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{4}{3}\pi$.
Vậy $V = \dfrac{4\pi}{3}$.
Chọn đáp án B.
Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ nên:
$AB = BC = 2 \Rightarrow AC = 2\sqrt2$.
Các cạnh bên: $SA = SB = SC = 2$.
Ta có: $AB^2 + BC^2 = 4 + 4 = 8 = AC^2$ nên $\triangle ABC$ vuông tại $B$.
Mặt khác: $SA = SB = SC = 2$ nên điểm $S$ cách đều $A,B,C$.
Suy ra $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ tại tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
Vì tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm $O$ của $AC$.
Do đó tâm mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm $I$ của $SO$.
Ta có: $AC = 2\sqrt2 \Rightarrow OA = OB = OC = \dfrac{AC}{2} = \sqrt2$.
Xét tam giác vuông $SAO$:
$SA^2 = SO^2 + OA^2$
$4 = SO^2 + 2 \Rightarrow SO^2 = 2 \Rightarrow SO = \sqrt2$.
Suy ra: $R = \dfrac{SO}{2} = \dfrac{\sqrt2}{2}$.
Thể tích khối cầu:
$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{4}{3}\pi \left(\dfrac{\sqrt2}{2}\right)^3 = \dfrac{4}{3}\pi \cdot \dfrac{2\sqrt2}{8} = \dfrac{\sqrt2\pi}{3}$.
Vậy $V = \dfrac{\sqrt2\pi}{3}$.
Đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ nên $AC$ là cạnh huyền, $AC = 2a$.
Do $SA \perp (ABC)$ nên $SA \perp AB,\ SA \perp AC$.
Suy ra tam giác $SAC$ vuông tại $A$, do đó:
$SC^2 = SA^2 + AC^2 = a^2 + (2a)^2 = 5a^2 \Rightarrow SC = a\sqrt5$.
Mặt khác: $SB^2 = SA^2 + AB^2$ và $AB^2 + BC^2 = AC^2 = 4a^2$.
Xét tam giác $SBC$:
$SB^2 + BC^2 = SA^2 + AB^2 + BC^2 = a^2 + 4a^2 = 5a^2 = SC^2$.
Suy ra $\triangle SBC$ vuông tại $B$.
Vậy tâm mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm của $SC$, bán kính:
$r = \dfrac{SC}{2} = \dfrac{a\sqrt5}{2}$.
Vậy $r = \dfrac{a\sqrt5}{2}$.
Chọn đáp án A.
Đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ nên $AC$ là cạnh huyền, $AC = 2a$.
Do $SA \perp (ABC)$ nên $SA \perp AB,\ SA \perp AC$.
Suy ra tam giác $SAC$ vuông tại $A$, do đó:
$SC^2 = SA^2 + AC^2 = a^2 + (2a)^2 = 5a^2 \Rightarrow SC = a\sqrt5$.
Mặt khác: $SB^2 = SA^2 + AB^2$ và $AB^2 + BC^2 = AC^2 = 4a^2$.
Xét tam giác $SBC$:
$SB^2 + BC^2 = SA^2 + AB^2 + BC^2 = a^2 + 4a^2 = 5a^2 = SC^2$.
Suy ra $\triangle SBC$ vuông tại $B$.
Vậy tâm mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm của $SC$, bán kính:
$r = \dfrac{SC}{2} = \dfrac{a\sqrt5}{2}$.
Vậy $r = \dfrac{a\sqrt5}{2}$.
Chọn đáp án A.
Đáp án B
Gọi I, E, F lần lượt là trung điểm của AC, AB, HC. IE là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác AHB, IF là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác HKC.
=> IA = IB = IC = IH = IK
Suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AHKB.
Suy ra bán kính R = 2 π a 3 3
Đáp án B
Gọi I, E, F lần lượt là trung điểm của AC, AB, HC.
IE là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác AHB, IF là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác HKC.
Suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AHKB. Suy ra bán kính R = a 2 2
Đáp án A
+ Do các cạnh bên cùng tạo với đáy một góc bằng nhau nên hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
+ Mà tam giác ABC vuông tại B nên trung điểm H của AC chính là hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy ⇒ SH ⊥ ABC .
Góc giữa SA và mặt đáy chính là góc giữa SA và AC hay SAC ⏜ = 60 °
⇒ ΔSAC đều => Trọng tâm G chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAC và G ∈ SH .
Đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, $BC = 2a$.
Giả sử $AB = x,\ AC = y$ thì:
$x^2 + y^2 = (2a)^2 = 4a^2$.
Các cạnh bên $SA, SB, SC$ cùng tạo với mặt đáy góc $60^\circ$ nên:
$\tan 60^\circ = \dfrac{SH}{HA} = \dfrac{SH}{HB} = \dfrac{SH}{HC}$.
Suy ra: $HA = HB = HC$ nên $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
Vì $ABC$ vuông tại $A$ nên $H$ là trung điểm của $BC$.
Suy ra: $HA = HB = HC = \dfrac{BC}{2} = a$.
Do đó: $\tan 60^\circ = \dfrac{SH}{a} \Rightarrow \sqrt3 = \dfrac{SH}{a} \Rightarrow SH = a\sqrt3$.
Ta có: $SA^2 = SH^2 + HA^2 = 3a^2 + a^2 = 4a^2 \Rightarrow SA = 2a$.
Tương tự: $SB = SC = 2a$.
Suy ra tâm mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm của $SH$.
Bán kính: $R = \dfrac{SH}{2} = \dfrac{a\sqrt3}{2}$.
Thể tích khối cầu:
$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{4}{3}\pi \left(\dfrac{a\sqrt3}{2}\right)^3 = \dfrac{4}{3}\pi \cdot \dfrac{3\sqrt3 a^3}{8} = \dfrac{\sqrt3\pi a^3}{2}$.
Vậy $V = \dfrac{\sqrt3\pi a^3}{2}$.
Chọn đáp án D.