Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Chọn D.
Do ( α ) đi qua G ∈ (SBC), song song với BC nên ( α ) cắt mặt phẳng (SBC) theo giao tuyến MN qua G và song song với BC.
Do tam giác ABC vuông cân tại B, AC = a
2
nên 
Do SA
⊥
(ABC) nên 
Chọn B.
Dễ thấy AB ⊥ BC. Suy ra SB ⊥ BC, ∆ SMN đồng dạng với ∆ SCB, do đó
Chọn C.
Dễ thấy BD ⊥ SC, nên BD // (AB'C'D'), suy ra BD // B'D'.
Gọi I = AC ∩ BD, J = AC' ∩ SI, khi đó J là trọng tâm của tam giác SAC và J ∈ B'D'.
Suy ra
Do đó dễ thấy
Đặt hệ tọa độ:
$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$
$S(0,0,h)$ với $h = AC = a\sqrt2$
Mặt phẳng qua $A$ vuông góc với $SC$ ⇒ pháp tuyến song song $\vec{SC} = (a,a,-h)$
Phương trình mặt phẳng:
$a x + a y - h z = 0$
Xét giao điểm với $SB$:
$SB: (at,0,h(1-t))$
Thay vào:
$a(at) + 0 - h[h(1-t)] = 0 \Rightarrow a^2 t - h^2(1-t)=0$
Vì $h^2 = 2a^2$:
$a^2 t - 2a^2(1-t)=0\Rightarrow t - 2 + 2t = 0\Rightarrow 3t = 2 \Rightarrow t = \dfrac{2}{3}$
⇒ $SB' = \dfrac{2}{3}SB$
Tương tự:
$SC' = \dfrac{2}{3}SC,\ SD' = \dfrac{2}{3}SD$
⇒ Khối chóp nhỏ $S.A'B'C'D'$ đồng dạng với $S.ABCD$ với tỉ số $k = \dfrac{2}{3}$
Tỉ số thể tích:
$ \dfrac{V'}{V} = k^3 = \left(\dfrac{2}{3}\right)^3 = \dfrac{8}{27}$
Chọn B
Ta có B C ⊥ S M . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SM. Do
và FE đi qua H.
Vậy H là trung điểm cạnh SM. Suy ra tam giác SAM vuông cân tại A
⇒ S A = a 3 2 V S A B C = 1 3 . a 3 2 . a 2 3 4 = a 3 8
Dễ dàng chứng minh MN // BC
Xét \(\Delta SBC\) có MN // BC và MN đi qua trọng tâm G
\(\Rightarrow\) \(\begin{cases}SM=\frac{2}{3}SB\\SN=\frac{2}{3}SC\end{cases}\)
Sử dụng công thức tỉ lệ thể tích đố với 2 khối tứ diện S.AMN và S.ABC ta có
\(\frac{V_{S.AMN}}{V_{S.ABC}}=\frac{SA}{SA}.\frac{SM}{SB}.\frac{SN}{SC}=1.\frac{2}{3}.\frac{2}{3}=\frac{4}{9}\\ \Rightarrow V_{S.AMN}=\frac{4}{9}.V_{S.ABC}\)
Tính được \(V_{S.ABC}=\frac{1}{6}SA.AB.BC=\frac{a^3}{6}\)
\(\Rightarrow V_{S.AMN}=\frac{2a^3}{27}\)
Vì $SA\perp(ABC)$ nên: $SA\perp AB,\ SA\perp BC$
Trong tam giác vuông $ABC$:
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}$ $=\sqrt{a^2+(2a)^2}$ $=a\sqrt5$
Xét tam giác vuông $SAB$:
$SB=\sqrt{SA^2+AB^2}$ $=\sqrt{a^2+a^2}$ $=a\sqrt2$
Xét tam giác vuông $SAC$:
$SC=\sqrt{SA^2+AC^2}$ $=\sqrt{a^2+5a^2}$ $=a\sqrt6$
$M$ là hình chiếu của $A$ lên $SB$ nên: $AM\perp SB$
$N$ là hình chiếu của $A$ lên $SC$ nên: $AN\perp SC$
Suy ra $MN\parallel BC$.
Ta có tỉ số đồng dạng: $\dfrac{SM}{SB}=\dfrac{SN}{SC}=\dfrac{SA^2}{SB\cdot SC}$
$=\dfrac{a^2}{a\sqrt2\cdot a\sqrt6} =\dfrac{1}{2\sqrt3}$
Thể tích khối chóp:
$V_{S.AMN} =V_{S.ABC}\left(\dfrac{SA^2}{SB\cdot SC}\right)^2$
Thể tích $S.ABC$:
$V_{S.ABC} =\dfrac13 S_{ABC}\cdot SA$
$S_{ABC}=\dfrac12 AB\cdot BC =\dfrac12\cdot a\cdot2a =a^2$
⇒ $V_{S.ABC} =\dfrac13 a^2\cdot a =\dfrac{a^3}{3}$
Suy ra: $V_{S.AMN} =\dfrac{a^3}{3}\left(\dfrac{1}{2\sqrt3}\right)^2$ $=\dfrac{a^3}{3}\cdot\dfrac{1}{12}$ $=\dfrac{a^3}{36}$
Đáp án A
Áp dụng ví dụ 2, ta có:
Từ đó suy ra