Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Gọi $AB=AC=a$ vì đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$.
Do $SA \perp (ABC)$ nên đặt: $SA=h$.
Thể tích khối chóp:
$V=\dfrac13\cdot\dfrac{a^2}{2}\cdot h=\dfrac{a^2h}{6}$.
Gọi $d$ là khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$.
Theo giả thiết: $d=3$.
Ta có công thức thể tích theo đáy $SBC$:
$V=\dfrac13 S_{SBC}\cdot d=S_{SBC}$.
Suy ra: $S_{SBC}=\dfrac{a^2h}{6}$.
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$.
Vì tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ nên:
$AM\perp BC$ và: $AM=\dfrac{a}{\sqrt2}$.
Mặt khác: $SA\perp BC$.
Suy ra mặt phẳng $(SAM)\perp BC$.
Do đó góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ là:
$\alpha=\widehat{SMA}$.
Xét tam giác vuông $SAM$ tại $A$:
$\tan\alpha=\dfrac{SA}{AM}=\dfrac{h}{a/\sqrt2}=\dfrac{h\sqrt2}{a}$.
Suy ra: $h=\dfrac{a\tan\alpha}{\sqrt2}$.
Thể tích:
$V=\dfrac{a^2}{6}\cdot\dfrac{a\tan\alpha}{\sqrt2} =\dfrac{a^3\tan\alpha}{6\sqrt2}$.
Mặt khác khoảng cách từ $A$ đến $(SBC)$ bằng:
$d=AM\sin\alpha =\dfrac{a}{\sqrt2}\sin\alpha=3$.
Suy ra: $a=\dfrac{3\sqrt2}{\sin\alpha}$.
Thế vào biểu thức thể tích:
$V=\dfrac1{6\sqrt2}\left(\dfrac{3\sqrt2}{\sin\alpha}\right)^3\tan\alpha$
$=\dfrac{9}{\sin^2\alpha\cos\alpha}$.
Đặt: $t=\cos\alpha$ với $0<t<1$.
Khi đó: $V=\dfrac{9}{(1-t^2)t}$.
Để $V$ nhỏ nhất thì: $(1-t^2)t=t-t^3$ phải lớn nhất.
Xét: $f(t)=t-t^3$.
$f'(t)=1-3t^2$.
$f'(t)=0 \Rightarrow t=\dfrac1{\sqrt3}$.
Vậy: $\cos\alpha=\dfrac{\sqrt3}{3}$.
Chọn đáp án C.
Đáp án A
Gọi I, H lần lượt là hình chiếu của A lên BC và SI
Ta có: 1 A I 2 = 1 A B 2 + 1 A C 2 = 1 2 a 2 + 1 3 a 2 = 13 36 a 2
1 A H 2 = 1 S A 2 + 1 A I 2 = 1 4 a 2 + 1 36 a 2 = 61 144 a 2
⇒ A I = 12 a 61 ⇒ d = A I = 12 a 61
Đáp án A
Gọi I là trung điểm của BC,H là hình chiếu của A xuống SI.
Ta có: B C ⊥ A H B C ⊥ S A ⇒ B C ⊥ S A I ⇒ A H ⊥ S B C
Ta có: A I = 2 a 2 − a 2 = a 3
1 A H 2 = 1 S A 2 + 1 A I 2 = 1 a 2 + 1 a 3 2 = 4 3 a 2 ⇒ A H = a 3 2
d A ; S B C = A H = a 3 2 .
Chọn D