Đáp án B

Dễ dàng chứng minh MN // BC

Xét \(\Delta SBC\) có MN // BC và MN đi qua trọng tâm G

\(\Rightarrow\) \(\begin{cases}SM=\frac{2}{3}SB\\SN=\frac{2}{3}SC\end{cases}\)

Sử dụng công thức tỉ lệ thể tích đố với 2 khối tứ diện S.AMN và S.ABC ta có

\(\frac{V_{S.AMN}}{V_{S.ABC}}=\frac{SA}{SA}.\frac{SM}{SB}.\frac{SN}{SC}=1.\frac{2}{3}.\frac{2}{3}=\frac{4}{9}\\ \Rightarrow V_{S.AMN}=\frac{4}{9}.V_{S.ABC}\)

Tính được \(V_{S.ABC}=\frac{1}{6}SA.AB.BC=\frac{a^3}{6}\)

\(\Rightarrow V_{S.AMN}=\frac{2a^3}{27}\)

Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$
$\Rightarrow AB \perp AC,; AB = AC$

Biết $AB = 2a$
$\Rightarrow AC = 2a$

Diện tích đáy:

$S_{\triangle ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot AC$

$= \dfrac{1}{2} \cdot 2a \cdot 2a = 2a^2$

$SA \perp (ABC)$ và $SA = a$
$\Rightarrow SA$ là chiều cao.

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} \cdot S_{\triangle ABC} \cdot SA$

$= \dfrac{1}{3} \cdot 2a^2 \cdot a$

$= \dfrac{2a^3}{3}$

Vậy $V = \dfrac{2a^3}{3}$

Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$
$\Rightarrow AB \perp AC,; AB = AC$

Biết $AB = 2a$
$\Rightarrow AC = 2a$

Diện tích đáy:

$S_{\triangle ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot AC$

$= \dfrac{1}{2} \cdot 2a \cdot 2a = 2a^2$

$SA \perp (ABC)$ và $SA = a$
$\Rightarrow SA$ là chiều cao.

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} \cdot S_{\triangle ABC} \cdot SA$

$= \dfrac{1}{3} \cdot 2a^2 \cdot a$

$= \dfrac{2a^3}{3}$

Vậy $V = \dfrac{2a^3}{3}$

Chọn A

Đáp án A

Đặt hệ trục: $B(0,0,0),\ C(a,0,0),\ A(0,a,0)$

⇒ $S(0,a,a\sqrt3)$

$M$ là trung điểm $AC$: $M\left(\dfrac a2,\dfrac a2,0\right)$

Vectơ pháp tuyến: Mặt $(SAB)$:

$\vec{SA}=(0,0,a\sqrt3),\ \vec{SB}=(0,-a,-a\sqrt3)$

$\Rightarrow \vec{n_1}=\vec{SA}\times\vec{SB}=(1,0,0)$ (cùng phương trục $Ox$)

Mặt $(SBM)$: $\vec{SB}=(0,-a,-a\sqrt3)$
$\vec{SM}=\left(\dfrac a2,-\dfrac a2,-a\sqrt3\right)$

$\Rightarrow \vec{n_2}=\vec{SB}\times\vec{SM}$

Tính được: $\vec{n_2}=\left(\dfrac{a^2\sqrt3}{2},\dfrac{a^2\sqrt3}{2},-\dfrac{a^2}{2}\right)$

Góc giữa hai mặt phẳng:

$\cos\varphi=\dfrac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1||\vec n_2|}$

$=\dfrac{\frac{a^2\sqrt3}{2}}{\sqrt{\left(\frac{a^2\sqrt3}{2}\right)^2+\left(\frac{a^2\sqrt3}{2}\right)^2+\left(\frac{a^2}{2}\right)^2}}$

$=\dfrac{\frac{a^2\sqrt3}{2}}{a^2\cdot\frac{\sqrt7}{2}} =\dfrac{\sqrt3}{\sqrt7}$

=> $\sin\varphi=\sqrt{1-\dfrac{3}{7}}=\dfrac{2}{\sqrt7}$

$\cot\varphi=\dfrac{\cos\varphi}{\sin\varphi} =\dfrac{\sqrt3/\sqrt7}{2/\sqrt7} =\dfrac{\sqrt3}{2}$

Chọn D.

Góc giữa mặt phẳng (ABC) và góc  S B A ^ = 60 o . 

Xét tam giác SAB vuông tạ A có SA=3a,  S B A ^ = 60 o  nên  A B = S A tan 60 o = a 3 . 

Khi đó  S A B C = 1 2 B A . B C = 3 a 2 2  nên 

V S . A B C = 1 3 S A . S A B C = 3 a 3 2

Vì $(SBC)\perp(ABC)$ nên $SB\perp(ABC)$.

Suy ra $SB\perp AB$ và $SB\perp BC$.

Xét tam giác $SBC$ vuông tại $B$, ta có: $SB=a$, $BC=a$ nên $SC=\sqrt{SB^2+BC^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$ (phù hợp với giả thiết).

Do $SA=SB=a$ và $AB=a$ nên các điểm $S,A,B$ cùng nằm trên mặt cầu tâm $O$ sao cho:

$OS=OA=OB=a$

Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là: $R=a$

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp $S=4\pi R^2=4\pi a^2$

Đáp án là A

Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$
$\Rightarrow AB \perp BC,; AB = BC = a$

Diện tích đáy:

$S_{\triangle ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot BC$
$= \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot a = \dfrac{a^2}{2}$

$SA \perp (ABC)$ và $SA = a$
$\Rightarrow SA$ là chiều cao của khối chóp.

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} \cdot S_{\triangle ABC} \cdot SA$

$= \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{a^2}{2} \cdot a$

$= \dfrac{a^3}{6}$

Vậy $V = \dfrac{a^3}{6}$