Chọn đáp án A

Đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, $\widehat{ABC}=60^\circ$ nên:

$\tan 60^\circ = \dfrac{AC}{AB} \Rightarrow \sqrt3 = \dfrac{AC}{2} \Rightarrow AC = 2\sqrt3$.

Suy ra: $BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{4 + 12} = 4$.

Diện tích đáy: $S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AB \cdot AC = \dfrac{1}{2}\cdot 2 \cdot 2\sqrt3 = 2\sqrt3$.

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ nên $BM = \dfrac{BC}{2} = 2$.

Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0),\ B(2,0),\ C(0,2\sqrt3)$ thì $M\left(1,\sqrt3\right)$.

Khi đó: $AM = \sqrt{1^2 + (\sqrt3)^2} = 2$.

Góc giữa $SA$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $45^\circ$ nên:

$\tan 45^\circ = \dfrac{SH}{AM}$

$1 = \dfrac{SH}{2} \Rightarrow SH = 2$.

Thể tích khối chóp $S.ABC$ là:

$V = \dfrac13 S_{ABC} \cdot SH = \dfrac13 \cdot 2\sqrt3 \cdot 2 = \dfrac{4\sqrt3}{3}$.

Vậy $V = \dfrac{4\sqrt3}{3}$.

Chọn đáp án A.

Đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, $\widehat{ABC}=60^\circ$ nên:

$\tan 60^\circ = \dfrac{AC}{AB} \Rightarrow \sqrt3 = \dfrac{AC}{2} \Rightarrow AC = 2\sqrt3$.

Suy ra: $BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{4 + 12} = 4$.

Diện tích đáy: $S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AB \cdot AC = \dfrac{1}{2}\cdot 2 \cdot 2\sqrt3 = 2\sqrt3$.

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ nên $BM = \dfrac{BC}{2} = 2$.

Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0),\ B(2,0),\ C(0,2\sqrt3)$ thì $M\left(1,\sqrt3\right)$.

Khi đó: $AM = \sqrt{1^2 + (\sqrt3)^2} = 2$.

Góc giữa $SA$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $45^\circ$ nên:

$\tan 45^\circ = \dfrac{SH}{AM}$

$1 = \dfrac{SH}{2} \Rightarrow SH = 2$.

Thể tích khối chóp $S.ABC$ là:

$V = \dfrac13 S_{ABC} \cdot SH = \dfrac13 \cdot 2\sqrt3 \cdot 2 = \dfrac{4\sqrt3}{3}$.

Vậy $V = \dfrac{4\sqrt3}{3}$.

Chọn đáp án A.

Đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, $BC = 2a$.

Giả sử $AB = x,\ AC = y$ thì:

$x^2 + y^2 = (2a)^2 = 4a^2$.

Các cạnh bên $SA, SB, SC$ cùng tạo với mặt đáy góc $60^\circ$ nên:

$\tan 60^\circ = \dfrac{SH}{HA} = \dfrac{SH}{HB} = \dfrac{SH}{HC}$.

Suy ra: $HA = HB = HC$ nên $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Vì $ABC$ vuông tại $A$ nên $H$ là trung điểm của $BC$.

Suy ra: $HA = HB = HC = \dfrac{BC}{2} = a$.

Do đó: $\tan 60^\circ = \dfrac{SH}{a} \Rightarrow \sqrt3 = \dfrac{SH}{a} \Rightarrow SH = a\sqrt3$.

Ta có: $SA^2 = SH^2 + HA^2 = 3a^2 + a^2 = 4a^2 \Rightarrow SA = 2a$.

Tương tự: $SB = SC = 2a$.

Suy ra tâm mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm của $SH$.

Bán kính: $R = \dfrac{SH}{2} = \dfrac{a\sqrt3}{2}$.

Thể tích khối cầu:

$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{4}{3}\pi \left(\dfrac{a\sqrt3}{2}\right)^3 = \dfrac{4}{3}\pi \cdot \dfrac{3\sqrt3 a^3}{8} = \dfrac{\sqrt3\pi a^3}{2}$.

Vậy $V = \dfrac{\sqrt3\pi a^3}{2}$.

Chọn đáp án D.

Chọn A

Đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ nên:

$S_{ABC}=\dfrac{a^2\sqrt3}{4}$.

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Khi đó:

$AM \perp BC$ và:

$AM=\dfrac{a\sqrt3}{2}$.

Vì $SA \perp (ABC)$ nên:

$SA \perp BC$.

Suy ra mặt phẳng $(SAM)$ vuông góc với $BC$.

Do đó góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ chính là:

$\widehat{SMA}=60^\circ$.

Xét tam giác vuông $SAM$ tại $A$:

$\tan 60^\circ=\dfrac{SA}{AM}$

$\Rightarrow \sqrt3=\dfrac{SA}{\dfrac{a\sqrt3}{2}}$

$\Rightarrow SA=\dfrac{3a}{2}$.

Thể tích khối chóp $S.ABC$ là:

$V=\dfrac13 S_{ABC}\cdot SA$

$=\dfrac13\cdot\dfrac{a^2\sqrt3}{4}\cdot\dfrac{3a}{2}$

$=\dfrac{a^3\sqrt3}{8}$.

Vậy: $V=\dfrac{a^3\sqrt3}{8}$.

Chọn đáp án A.

Đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ nên:

$S_{ABC}=\dfrac{a^2\sqrt3}{4}$.

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Khi đó trong tam giác đều $ABC$:

$AM \perp BC$

và:

$AM=\dfrac{a\sqrt3}{2}$.

Vì $SA \perp (ABC)$ nên:

$SA \perp BC$.

Suy ra mặt phẳng $(SAM)$ vuông góc với $BC$.

Góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ là góc giữa hai đường thẳng cùng vuông góc với $BC$ trong hai mặt phẳng đó, tức là:

$\widehat{SMA}=60^\circ$.

Xét tam giác vuông $SAM$ tại $A$:

$\tan 60^\circ=\dfrac{SA}{AM}$

$\Rightarrow \sqrt3=\dfrac{SA}{\dfrac{a\sqrt3}{2}}$

$\Rightarrow SA=\dfrac{3a}{2}$.

Thể tích khối chóp $S.ABC$ là:

$V=\dfrac13 S_{ABC}\cdot SA$

$=\dfrac13\cdot\dfrac{a^2\sqrt3}{4}\cdot\dfrac{3a}{2}$

$=\dfrac{a^3\sqrt3}{8}$.

Vậy: $V=\dfrac{a^3\sqrt3}{8}$.

Chọn đáp án A.

Đáp án B

Chọn C

Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ nên:

$AB = BC = 2 \Rightarrow AC = 2\sqrt2$.

Các cạnh bên: $SA = SB = SC = 2$.

Đặt hệ trục tọa độ: $B(0,0,0),\ A(2,0,0),\ C(0,2,0)$.

Gọi $S(x,y,z)$ thỏa:

$SB^2 = x^2 + y^2 + z^2 = 4$.

Từ $SA^2 = 4 \Rightarrow (x-2)^2 + y^2 + z^2 = 4 \Rightarrow x = 1$.

Từ $SC^2 = 4 \Rightarrow x^2 + (y-2)^2 + z^2 = 4 \Rightarrow y = 1$.

Thay vào: $1 + 1 + z^2 = 4 \Rightarrow z^2 = 2 \Rightarrow z = \sqrt2$.

Suy ra $S(1,1,\sqrt2)$.

Do $SA = SB = SC = 2$ nên tâm mặt cầu ngoại tiếp là điểm $S$ đối xứng với $B$ qua tâm $I$, suy ra:

$I\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2},\dfrac{\sqrt2}{2}\right)$.

Bán kính:

$R = IB = \sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{\sqrt2}{2}\right)^2} = \sqrt{\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2}} = 1$.

Thể tích khối cầu:

$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{4}{3}\pi$.

Vậy $V = \dfrac{4\pi}{3}$.

Chọn đáp án B.

Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$, $BC = 2a\sqrt2$ nên:

$AB = AC = \dfrac{BC}{\sqrt2} = 2a$.

Diện tích đáy:

$S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AB \cdot AC = \dfrac{1}{2}\cdot 2a \cdot 2a = 2a^2$.

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac13 S_{ABC} \cdot SH = a^3 \Rightarrow \dfrac13 \cdot 2a^2 \cdot SH = a^3 \Rightarrow SH = \dfrac{3a}{2}$.

Vì $(SBC)\perp(ABC)$ nên $SH \perp (SBC)$.

Gọi $H$ là trung điểm $BC$ thì:

$BH = CH = \dfrac{BC}{2} = a\sqrt2$.

Trong tam giác vuông cân $ABC$:

$AH = \sqrt{AB^2 - BH^2} = \sqrt{4a^2 - 2a^2} = a\sqrt2$.

=> $SA^2 = SH^2 + AH^2 = \left(\dfrac{3a}{2}\right)^2 + (a\sqrt2)^2 = \dfrac{9a^2}{4} + 2a^2 = \dfrac{17a^2}{4}$

$\Rightarrow SA = \dfrac{a\sqrt{17}}{2}$.

Góc giữa $SA$ và $(SBC)$ là góc giữa $SA$ và hình chiếu của nó lên $(SBC)$ nên:

$\sin \alpha = \dfrac{SH}{SA} = \dfrac{\dfrac{3a}{2}}{\dfrac{a\sqrt{17}}{2}} = \dfrac{3}{\sqrt{17}}$.

=> $\alpha \approx 45^\circ = \dfrac{\pi}{4}$.

Chọn đáp án C.