Đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ nên:

$S_{ABC}=\dfrac{a^2\sqrt3}{4}$.

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Khi đó trong tam giác đều $ABC$:

$AM \perp BC$

và:

$AM=\dfrac{a\sqrt3}{2}$.

Vì $SA \perp (ABC)$ nên:

$SA \perp BC$.

Suy ra mặt phẳng $(SAM)$ vuông góc với $BC$.

Góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ là góc giữa hai đường thẳng cùng vuông góc với $BC$ trong hai mặt phẳng đó, tức là:

$\widehat{SMA}=60^\circ$.

Xét tam giác vuông $SAM$ tại $A$:

$\tan 60^\circ=\dfrac{SA}{AM}$

$\Rightarrow \sqrt3=\dfrac{SA}{\dfrac{a\sqrt3}{2}}$

$\Rightarrow SA=\dfrac{3a}{2}$.

Thể tích khối chóp $S.ABC$ là:

$V=\dfrac13 S_{ABC}\cdot SA$

$=\dfrac13\cdot\dfrac{a^2\sqrt3}{4}\cdot\dfrac{3a}{2}$

$=\dfrac{a^3\sqrt3}{8}$.

Vậy: $V=\dfrac{a^3\sqrt3}{8}$.

Chọn đáp án A.

Chọn đáp án A

Đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, $\widehat{ABC}=60^\circ$ nên:

$\tan 60^\circ = \dfrac{AC}{AB} \Rightarrow \sqrt3 = \dfrac{AC}{2} \Rightarrow AC = 2\sqrt3$.

Suy ra: $BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{4 + 12} = 4$.

Diện tích đáy: $S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AB \cdot AC = \dfrac{1}{2}\cdot 2 \cdot 2\sqrt3 = 2\sqrt3$.

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ nên $BM = \dfrac{BC}{2} = 2$.

Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0),\ B(2,0),\ C(0,2\sqrt3)$ thì $M\left(1,\sqrt3\right)$.

Khi đó: $AM = \sqrt{1^2 + (\sqrt3)^2} = 2$.

Góc giữa $SA$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $45^\circ$ nên:

$\tan 45^\circ = \dfrac{SH}{AM}$

$1 = \dfrac{SH}{2} \Rightarrow SH = 2$.

Thể tích khối chóp $S.ABC$ là:

$V = \dfrac13 S_{ABC} \cdot SH = \dfrac13 \cdot 2\sqrt3 \cdot 2 = \dfrac{4\sqrt3}{3}$.

Vậy $V = \dfrac{4\sqrt3}{3}$.

Chọn đáp án A.

Đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, $\widehat{ABC}=60^\circ$ nên:

$\tan 60^\circ = \dfrac{AC}{AB} \Rightarrow \sqrt3 = \dfrac{AC}{2} \Rightarrow AC = 2\sqrt3$.

Suy ra: $BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{4 + 12} = 4$.

Diện tích đáy: $S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AB \cdot AC = \dfrac{1}{2}\cdot 2 \cdot 2\sqrt3 = 2\sqrt3$.

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ nên $BM = \dfrac{BC}{2} = 2$.

Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0),\ B(2,0),\ C(0,2\sqrt3)$ thì $M\left(1,\sqrt3\right)$.

Khi đó: $AM = \sqrt{1^2 + (\sqrt3)^2} = 2$.

Góc giữa $SA$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $45^\circ$ nên:

$\tan 45^\circ = \dfrac{SH}{AM}$

$1 = \dfrac{SH}{2} \Rightarrow SH = 2$.

Thể tích khối chóp $S.ABC$ là:

$V = \dfrac13 S_{ABC} \cdot SH = \dfrac13 \cdot 2\sqrt3 \cdot 2 = \dfrac{4\sqrt3}{3}$.

Vậy $V = \dfrac{4\sqrt3}{3}$.

Chọn đáp án A.

Đáp án A

Đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ nên:

$S_{ABC}=\dfrac{a^2\sqrt3}{4}$.

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Khi đó:

$AM \perp BC$ và: $AM=\dfrac{a\sqrt3}{2}$.

Vì $SA \perp (ABC)$ nên:

$SA \perp BC$.

Suy ra mặt phẳng $(SAM)$ vuông góc với $BC$.

Do đó góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ chính là:

$\widehat{SMA}=60^\circ$.

Xét tam giác vuông $SAM$ tại $A$:

$\tan 60^\circ=\dfrac{SA}{AM}$

$\Rightarrow \sqrt3=\dfrac{SA}{\dfrac{a\sqrt3}{2}}$

$\Rightarrow SA=\dfrac{3a}{2}$.

Thể tích khối chóp $S.ABC$ là:

$V=\dfrac13 S_{ABC}\cdot SA$

$=\dfrac13\cdot\dfrac{a^2\sqrt3}{4}\cdot\dfrac{3a}{2}$

$=\dfrac{a^3\sqrt3}{8}$.

Vậy:

$V=\dfrac{a^3\sqrt3}{8}$.

Chọn đáp án A.

Vì AB, AC, AS đôi một vuông góc nên

Chọn C.

Gọi $AB=AC=a$ vì đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$.

Do $SA \perp (ABC)$ nên đặt: $SA=h$.

Thể tích khối chóp:

$V=\dfrac13\cdot\dfrac{a^2}{2}\cdot h=\dfrac{a^2h}{6}$.

Gọi $d$ là khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$.

Theo giả thiết: $d=3$.

Ta có công thức thể tích theo đáy $SBC$:

$V=\dfrac13 S_{SBC}\cdot d=S_{SBC}$.

Suy ra: $S_{SBC}=\dfrac{a^2h}{6}$.

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$.

Vì tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ nên:

$AM\perp BC$ và: $AM=\dfrac{a}{\sqrt2}$.

Mặt khác: $SA\perp BC$.

Suy ra mặt phẳng $(SAM)\perp BC$.

Do đó góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ là:

$\alpha=\widehat{SMA}$.

Xét tam giác vuông $SAM$ tại $A$:

$\tan\alpha=\dfrac{SA}{AM}=\dfrac{h}{a/\sqrt2}=\dfrac{h\sqrt2}{a}$.

Suy ra: $h=\dfrac{a\tan\alpha}{\sqrt2}$.

Thể tích:

$V=\dfrac{a^2}{6}\cdot\dfrac{a\tan\alpha}{\sqrt2} =\dfrac{a^3\tan\alpha}{6\sqrt2}$.

Mặt khác khoảng cách từ $A$ đến $(SBC)$ bằng:

$d=AM\sin\alpha =\dfrac{a}{\sqrt2}\sin\alpha=3$.

Suy ra: $a=\dfrac{3\sqrt2}{\sin\alpha}$.

Thế vào biểu thức thể tích:

$V=\dfrac1{6\sqrt2}\left(\dfrac{3\sqrt2}{\sin\alpha}\right)^3\tan\alpha$

$=\dfrac{9}{\sin^2\alpha\cos\alpha}$.

Đặt: $t=\cos\alpha$ với $0<t<1$.

Khi đó: $V=\dfrac{9}{(1-t^2)t}$.

Để $V$ nhỏ nhất thì: $(1-t^2)t=t-t^3$ phải lớn nhất.

Xét: $f(t)=t-t^3$.

$f'(t)=1-3t^2$.

$f'(t)=0 \Rightarrow t=\dfrac1{\sqrt3}$.

Vậy: $\cos\alpha=\dfrac{\sqrt3}{3}$.

Chọn đáp án C.

Đáp án C

Phương pháp:

- Xác định góc giữa hai mặt phẳng S.ABC bởi định nghĩa:

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng mà cùng vuông góc với giao tuyến.

- Tính thể tích khối chóp theo công thức

V = 1 3 S h

Đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ nên:

$S_{ABC}=\dfrac{a^2\sqrt3}{4}$.

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Khi đó:

$AM \perp BC$ và: $AM=\dfrac{a\sqrt3}{2}$.

Vì $SA \perp (ABC)$ nên:

$SA \perp BC$.

Suy ra mặt phẳng $(SAM)$ vuông góc với $BC$.

Do đó góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ chính là:

$\widehat{SMA}=60^\circ$.

Xét tam giác vuông $SAM$ tại $A$:

$\tan 60^\circ=\dfrac{SA}{AM}$

$\Rightarrow \sqrt3=\dfrac{SA}{\dfrac{a\sqrt3}{2}}$

$\Rightarrow SA=\dfrac{3a}{2}$.

Thể tích khối chóp $S.ABC$ là:

$V=\dfrac13 S_{ABC}\cdot SA$

$=\dfrac13\cdot\dfrac{a^2\sqrt3}{4}\cdot\dfrac{3a}{2}$

$=\dfrac{a^3\sqrt3}{8}$.

Vậy:

$V=\dfrac{a^3\sqrt3}{8}$.

Chọn đáp án D.

Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$, $BC = 2a\sqrt2$ nên:

$AB = AC = \dfrac{BC}{\sqrt2} = 2a$.

Diện tích đáy:

$S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AB \cdot AC = \dfrac{1}{2}\cdot 2a \cdot 2a = 2a^2$.

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac13 S_{ABC} \cdot SH = a^3 \Rightarrow \dfrac13 \cdot 2a^2 \cdot SH = a^3 \Rightarrow SH = \dfrac{3a}{2}$.

Vì $(SBC)\perp(ABC)$ nên $SH \perp (SBC)$.

Gọi $H$ là trung điểm $BC$ thì:

$BH = CH = \dfrac{BC}{2} = a\sqrt2$.

Trong tam giác vuông cân $ABC$:

$AH = \sqrt{AB^2 - BH^2} = \sqrt{4a^2 - 2a^2} = a\sqrt2$.

=> $SA^2 = SH^2 + AH^2 = \left(\dfrac{3a}{2}\right)^2 + (a\sqrt2)^2 = \dfrac{9a^2}{4} + 2a^2 = \dfrac{17a^2}{4}$

$\Rightarrow SA = \dfrac{a\sqrt{17}}{2}$.

Góc giữa $SA$ và $(SBC)$ là góc giữa $SA$ và hình chiếu của nó lên $(SBC)$ nên:

$\sin \alpha = \dfrac{SH}{SA} = \dfrac{\dfrac{3a}{2}}{\dfrac{a\sqrt{17}}{2}} = \dfrac{3}{\sqrt{17}}$.

=> $\alpha \approx 45^\circ = \dfrac{\pi}{4}$.

Chọn đáp án C.

Chọn đáp án A