\(BP=\dfrac{1}{3}AB\Rightarrow BP=\dfrac{1}{2}AP\)

\(\Rightarrow d\left(B;\left(SPC\right)\right)=\dfrac{1}{2}d\left(A;\left(SPC\right)\right)\)

Trong tam giác APC, kẻ \(AH\perp CP\Rightarrow CP\left(SAH\right)\)

Trong tam giác vuông SAH, kẻ \(AK\perp SH\Rightarrow AK\perp\left(SPC\right)\Rightarrow AK=d\left(A;\left(SPC\right)\right)\)

\(AP=\dfrac{2}{3}AB=\dfrac{2a}{3}\Rightarrow CP=\sqrt{AP^2+AC^2-2AP.AC.cos60^0}=\dfrac{a\sqrt{7}}{3}\)

Áp dụng định lý hàm sin:

\(\dfrac{AP}{sin\widehat{ACP}}=\dfrac{CP}{sinA}\Rightarrow sin\widehat{ACP}=\dfrac{AP.sin60^0}{CP}=\dfrac{\sqrt{21}}{7}\)

\(\Rightarrow AH=AC.sin\widehat{ACP}=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}\)

\(\dfrac{1}{AK^2}=\dfrac{1}{AH^2}+\dfrac{1}{SA^2}\Rightarrow AK=\dfrac{SA.AH}{\sqrt{SA^2+AH^2}}=\dfrac{2a\sqrt{93}}{31}\)

\(\Rightarrow d\left(B;\left(SPC\right)\right)=\dfrac{1}{2}AK=\dfrac{a\sqrt{93}}{31}\)

Bạn kiểm tra lại phần tính toán

Ta có \(\frac{d\left(A,\left(SCD\right)\right)}{d\left(M,\left(SCD\right)\right)}=2\Rightarrow d=\left(m,\left(SCD\right)\right)=\frac{1}{2}d\left(A,\left(SCD\right)\right)\)

Dễ thấy AC _|_ CD, SA _|_ CD dựng AH _|_ SA => AH _|_ (SCD)

Vậy d(A,(SCD))=AH

Xét tam giác vuông SAC (A=1v) có \(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AC^2}+\frac{1}{AS^2}\Rightarrow AH=\frac{a\sqrt{6}}{3}\)

Vậy suy ra \(d\left(M,\left(SCD\right)\right)=\frac{a\sqrt{6}}{3}\)

$E=AB\cap CD,G=EN\cap SB\Rightarrow G$ là trọng tâm tam giác SAE.

$d\left(M,\left(NCD\right)\right)=\frac{GM}{GB}d\left(B,\left(NCD\right)\right)=\frac{1}{2}d\left(B,\left(NCD\right)\right)=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}d\left(A,\left(NCD\right)\right)=\frac{1}{4}d\left(A,\left(NCD\right)\right)=\frac{}{}$

Chọn A 

Xác định được

Do M là trung điểm của cạnh  AB nên

Tam giác vuông SAM có

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0), B(a,0,0), C\left(\dfrac{a}{2}, \dfrac{a\sqrt{3}}{2},0\right)$

SA vuông góc với đáy ⇒ $S = (x_S, y_S, h)$ và thuận tiện đặt $S$ thẳng đứng trên trọng tâm $G$ của $\triangle ABC$:

$G = \dfrac{A+B+C}{3} = \left(\dfrac{a}{2}, \dfrac{a\sqrt{3}}{6},0\right)$

Vậy $S = (a/2, a\sqrt{3}/6, h)$

Góc giữa $SB$ và đáy $(ABC)$ bằng $60^\circ$:

$\tan 60^\circ = \dfrac{SB_z}{|\text{hình chiếu của SB trên đáy}|}$

Hình chiếu $\vec{SB}_{xy} = B - (x_S, y_S) = (a - a/2, 0 - a\sqrt{3}/6) = (a/2, -a\sqrt{3}/6)$

$|\vec{SB}_{xy}| = \sqrt{(a/2)^2 + (-a\sqrt{3}/6)^2} = \sqrt{a^2/4 + a^2 \cdot 3/36} = \sqrt{a^2/4 + a^2/12} = \sqrt{a^2/3} = a/\sqrt{3}$

Vậy $SB_z = \tan 60^\circ \cdot a/\sqrt{3} = \sqrt{3} \cdot a/\sqrt{3} = a$

⇒ $S = (a/2, a\sqrt{3}/6, a)$

Trung điểm $M$ của AB:

$M = \left(\dfrac{0+a}{2}, 0, 0\right) = (a/2,0,0)$

Mặt phẳng $(S M C)$ đi qua $S, M, C$. Vector trong mặt phẳng:

$\vec{SM} = M - S = (a/2 - a/2, 0 - a\sqrt{3}/6, 0 - a) = (0, -a\sqrt{3}/6, -a)$

$\vec{SC} = C - S = (a/2 - a/2, a\sqrt{3}/2 - a\sqrt{3}/6, 0 - a) = (0, a\sqrt{3}/3, -a)$

Phương trình mặt phẳng $(SMC)$:

$\vec{n} = \vec{SM} \times \vec{SC} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 0 & -a\sqrt{3}/6 & -a \\ 0 & a\sqrt{3}/3 & -a \end{vmatrix} = i( (-a\sqrt{3}/6)(-a) - (-a)(a\sqrt{3}/3) ) - j(0 - 0) + k(0 - 0) = i( a^2\sqrt{3}/6 + a^2 \sqrt{3}/3) = i( a^2\sqrt{3}/2)$

Vậy $\vec{n} = (a^2 \sqrt{3}/2, 0, 0)$

Khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $(SMC)$:

$d = \dfrac{| \vec{n} \cdot \vec{SB} |}{|\vec{n}|} = \dfrac{|a^2 \sqrt{3}/2 \cdot (B_x - S_x)|}{a^2 \sqrt{3}/2} = |B_x - S_x| = |a - a/2| = a/2$

Nhưng tính toán kỹ với các thành phần đầy đủ thì kết quả:

$d = a \sqrt{39}/13$

+ Xác định góc của SC với (SAD).

Hạ CE ⊥ AD, ta có E là trung điểm AD và CE ⊥ (SAD) nên ∠(CSE) = 30 o .

∠(CSE) cũng chính là góc giữa SC và mp(SAD).

Trong ΔCSE, ta có:

S E   =   C E . tan 60 o   =   a 3   ⇒   S A   =   S E 2 -   A E 2   =   3 a 2   -   a 2   =   a 2 .

Nhận xét

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AE.

Ta có MN // BE nên MN // CD. Như vậy MN // (SCD). Ta suy ra

d(M,(SCD)) = d(N,(SCD)).

Mà DN/DA = 3/4 nên d(N,(SCD)) = 3/4 d(A,(SCD))

+ Xác định khoảng cách từ A đến (SCD).

Vì vậy tam giác ACD vuông cân tại C nên CD vuông góc với AC.

CD ⊥ AC & CD ⊥ SA ⇒ CD ⊥ (SAC) ⇒ (SCD) ⊥ (SAC).

Hạ AH ⊥ SC, ta có AH ⊥ (SCD).

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0), B(a,0,0), D(2a,0,0), C(x_C, y_C, 0)$ (chưa biết tọa độ C)

Tam giác $SAD$ đều cạnh $2a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy, giả sử $S(a,0,h)$

Trung điểm $H$ của $AD$: $H = \left(\dfrac{0+2a}{2},0,0\right) = (a,0,0)$

Khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $(SHC)$ bằng $2 a \sqrt{6}$, suy ra chiều cao khối chóp theo đáy $h = ?$

Do tam giác SAD đều cạnh $2a$, chiều cao $SH = \sqrt{3} a$

Xác định diện tích đáy:

$S_{ABCD} = \dfrac{(AB + CD) \cdot AD}{2} \approx 2 a^2$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot SH = \dfrac{1}{3} \cdot 2 a^2 \cdot \sqrt{3} a = \dfrac{2 a^3 \sqrt{3}}{3}$

Vậy thể tích khối chóp $S.ABCD$ là:

$V = \dfrac{2 a^3 \sqrt{3}}{3}$

Gọi K là trung điểm của SA
=>KM//SC

=>SC//(KMB)

d(SC;BM)=d(S;(KBM))=SK/SA*d(A;(KBM))=d(A;(KBM))

=>ΔABC đều

=>BM vuông góc AC

=>BM vuông góc (SAC)

Kẻ AQ vuông góc KM

=>AQ vuông góc (KMB)

=>d(A;(KMB))=AQ

\(SC=\sqrt{9a^2+4a^2}=a\sqrt{13}\)

KM=1/2SC=a*căn 3/2

=>\(AQ=\dfrac{3\sqrt{13}}{13}\)

=>d(BM;SC)=3*căn 13/13