Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$ nên:

$AB = AC = a \Rightarrow BC = a\sqrt2$.

Diện tích đáy: $S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AB \cdot AC = \dfrac{1}{2}a^2$.

Mặt bên $SAB$ là tam giác vuông cân tại $S$ nên:

$SA = SB$ và $AB = SA\sqrt2 \Rightarrow SA = SB = \dfrac{a}{\sqrt2}$.

Gọi $M$ là trung điểm $AB$ thì: $SM \perp AB$ và $SM = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{a}{2}$.

Vì $(SAB)\perp(ABC)$ nên $SM \perp (ABC)$, do đó $SM$ là chiều cao của khối chóp.

Thể tích khối chóp: $V = \dfrac13 S_{ABC} \cdot SM = \dfrac13 \cdot \dfrac{a^2}{2} \cdot \dfrac{a}{2} = \dfrac{a^3}{12}$.

Vậy $V = \dfrac{a^3}{12}$.

Chọn đáp án A.

Tam giác SBC cân hay đều em nhỉ?

Vì tam giác SBC đều thì sẽ không khớp với dữ kiện \(V_{SABC}=\dfrac{a^3}{16}\)

Đề cho là tam giác đều ạ

Đáp án A

Xét ∆SAB, ta có: SA = SB =  a 2 2

=> SH =  a 2

Vậy 

Chọn đáp án D

+ Gọi  H là trung điểm SB. Do tam giác SAB vuông tại A, SBC vuông tại C suy ta HA = HB = HS = HC

Suy ra H là tâm mặt cầu.

+ Gọi I là hình chiếu của H lên (ABC). Do HA = HB = HC , suy ra IA = IB = IC 

Suy ra I là trung điểm AC. Gọi P là trung điểm BC, do tam giác ABC vuông cân, suy ra

Áp dụng hệ thức

\

Đặt hệ trục tọa độ:

$B(0,0,0), A(a\sqrt{3},0,0), C(0,a\sqrt{3},0)$

Vì $\angle SAB = 90^\circ$ và $\angle SCB = 90^\circ$ ⇒

$SA ⟂ AB$, $SC ⟂ BC$

Giả sử $S = (x,y,z)$

Điều kiện:

$\vec{SA} \cdot \vec{AB} = 0$ ⇒ $(x - a\sqrt{3}, y, z) \cdot (a\sqrt{3},0,0) = 0$

$\Rightarrow (x - a\sqrt{3}) a\sqrt{3} = 0 \Rightarrow x = a\sqrt{3}$

$\vec{SC} \cdot \vec{CB} = 0$ ⇒ $(x, y - a\sqrt{3}, z) \cdot (0,-a\sqrt{3},0) = 0$

$\Rightarrow (y - a\sqrt{3})(-a\sqrt{3}) = 0 \Rightarrow y = a\sqrt{3}$

⇒ $S = (a\sqrt{3}, a\sqrt{3}, z)$

Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$ bằng $a\sqrt{2}$

Vector:

$\vec{SB} = B - S = (-a\sqrt{3}, -a\sqrt{3}, -z)$

$\vec{SC} = C - S = (-a\sqrt{3}, 0, -z)$

Pháp tuyến:

$\vec{n} = \vec{SB} \times \vec{SC} = (a\sqrt{3} z, 0, -3a^2)$

$|\vec{n}| = \sqrt{3a^2 z^2 + 9a^4} = a \sqrt{3z^2 + 9a^2}$

$\vec{AS} = A - S = (0, -a\sqrt{3}, -z)$

Khoảng cách:

$d = \dfrac{| \vec{n} \cdot \vec{AS} |}{|\vec{n}|} = \dfrac{|0 + 0 + (-3a^2)(-z)|}{a \sqrt{3z^2 + 9a^2}} = \dfrac{3a^2 z}{a \sqrt{3z^2 + 9a^2}} = \dfrac{3a z}{\sqrt{3z^2 + 9a^2}}$

Theo đề:

$\dfrac{3a z}{\sqrt{3z^2 + 9a^2}} = a\sqrt{2}$

Bình phương:

$\dfrac{9 a^2 z^2}{3z^2 + 9a^2} = 2a^2$

$\Rightarrow 9z^2 = 2(3z^2 + 9a^2)$

$\Rightarrow 9z^2 = 6z^2 + 18a^2$

$\Rightarrow 3z^2 = 18a^2 \Rightarrow z^2 = 6a^2 \Rightarrow z = a\sqrt{6}$

⇒ $S = (a\sqrt{3}, a\sqrt{3}, a\sqrt{6})$

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp là khoảng cách từ tâm $O$ đến các đỉnh.

Do tính đối xứng, tâm $O$ là trung điểm của đoạn nối hai điểm xa nhất, ở đây xét $SC$ và $AB$:

$R = \dfrac{\sqrt{SA^2 + BC^2}}{2}$

$SA^2 = (0)^2 + (a\sqrt{3})^2 + (a\sqrt{6})^2 = 3a^2 + 6a^2 = 9a^2$

⇒ $SA = 3a$

$BC = a\sqrt{3}$

$R = \dfrac{\sqrt{(3a)^2 + (a\sqrt{3})^2}}{2} = \dfrac{\sqrt{9a^2 + 3a^2}}{2} = \dfrac{\sqrt{12a^2}}{2} = \dfrac{2a\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3}$

Thể tích khối cầu:

$V = \dfrac{4}{3} \pi R^3 = \dfrac{4}{3} \pi (a\sqrt{3})^3 = \dfrac{4}{3} \pi \cdot 3\sqrt{3} a^3 = 4\pi a^3 \sqrt{3}$

Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp là:

$V = 4\pi a^3 \sqrt{3}$

Đáp án C

Gọi H là trung điểm  AB

Suy ra K là hình chiếu từ H trên   (SAC)

Do đó, nếu gọi L là hình chiếu từ B lên   (SAC) thì BL=2HK.

Từ đó, tính được 

Ta có:

Đáy $ABC$ là tam giác cân tại $A$ với $AB = AC = a$, $\widehat{BAC} = 120^\circ$.

Diện tích đáy:

$S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AB \cdot AC \cdot \sin 120^\circ= \dfrac{1}{2}\cdot a \cdot a \cdot \dfrac{\sqrt3}{2}= \dfrac{a^2\sqrt3}{4}$.

Tam giác $SAB$ đều cạnh $a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với $(ABC)$ nên:

$SA = SB = AB = a$ và $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với $(ABC)$ tại trung điểm $M$ của $AB$.

Trong tam giác đều $SAB$:

$SM = \dfrac{\sqrt3}{2}a$.

Vì $(SAB) \perp (ABC)$ nên $SM \perp (ABC)$, do đó $SM$ là chiều cao của khối chóp.

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac13 S_{ABC} \cdot SM= \dfrac13 \cdot \dfrac{a^2\sqrt3}{4} \cdot \dfrac{a\sqrt3}{2}= \dfrac{a^3}{8}$.

Vậy $V = \dfrac{a^3}{8}$.