Đáp án B

Đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ nên: $S_{ABC} = \dfrac{\sqrt3}{4}a^2$.

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $(ABC)$, theo đề bài $H$ thuộc $BC$ và $HC = 2BH$.

=> $BH = \dfrac{a}{3},\ HC = \dfrac{2a}{3}$.

Đặt hệ trục sao cho $B(0,0),\ C(a,0)$, khi đó $H\left(\dfrac{a}{3},0\right)$.

Vì $ABC$ là tam giác đều nên $A\left(\dfrac{a}{2}, \dfrac{\sqrt3}{2}a\right)$.

Khi đó:

$AH^2 = \left(\dfrac{a}{2} - \dfrac{a}{3}\right)^2 + \left(\dfrac{\sqrt3}{2}a\right)^2$

$= \left(\dfrac{a}{6}\right)^2 + \dfrac{3a^2}{4}$

$= \dfrac{a^2}{36} + \dfrac{27a^2}{36}$

$= \dfrac{28a^2}{36}$

$= \dfrac{7a^2}{9}$

$\Rightarrow AH = \dfrac{a\sqrt7}{3}$.

Góc giữa $SA$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $60^\circ$ nên:

$\tan 60^\circ = \dfrac{SH}{AH}$

$\sqrt3 = \dfrac{SH}{\dfrac{a\sqrt7}{3}}$

$\Rightarrow SH = \dfrac{a\sqrt{21}}{3}$.

Thể tích khối chóp $S.ABC$ là:

$V = \dfrac13 S_{ABC} \cdot SH$

$= \dfrac13 \cdot \dfrac{\sqrt3}{4}a^2 \cdot \dfrac{a\sqrt{21}}{3}$

$= \dfrac{a^3\sqrt{63}}{36} = \dfrac{a^3 \cdot 3\sqrt7}{36} = \dfrac{a^3\sqrt7}{12}$.

Vậy $V = \dfrac{a^3\sqrt7}{12}$.

Chọn đáp án B.

Đáp án B

Đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ nên:

$S_{ABC} = \dfrac{\sqrt3}{4}a^2$.

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $(ABC)$, theo đề bài $H$ là trung điểm của $BC$ nên $BH = \dfrac{a}{2}$.

Trong tam giác đều $ABC$, khoảng cách từ $H$ đến đường thẳng $AB$ là:

$HM = \dfrac{\sqrt3}{2}\cdot \dfrac{a}{2} = \dfrac{a\sqrt3}{4}$.

Góc giữa mặt phẳng $(SAB)$ và $(ABC)$ bằng $45^\circ$ nên:

$\tan 45^\circ = \dfrac{SH}{HM}$

$1 = \dfrac{SH}{\dfrac{a\sqrt3}{4}}$

$\Rightarrow SH = \dfrac{a\sqrt3}{4}$.

Thể tích khối chóp $S.ABC$ là:

$V = \dfrac13 S_{ABC} \cdot SH$

$= \dfrac13 \cdot \dfrac{\sqrt3}{4}a^2 \cdot \dfrac{a\sqrt3}{4}$

$= \dfrac{a^3}{16}$.

Vậy $V = \dfrac{a^3}{16}$.

Chọn đáp án B.

Đáp án A

Đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ nên:

$S_{ABC} = \dfrac{\sqrt3}{4}a^2$.

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $(ABC)$, theo đề bài $H$ thuộc $BC$ và $HC = 2BH$.

Suy ra $BH = \dfrac{a}{3},\ HC = \dfrac{2a}{3}$.

Khi đó khoảng cách từ $H$ đến đường thẳng $AB$ là:

$HM = \dfrac{\sqrt3}{2}\cdot \dfrac{a}{3} = \dfrac{a\sqrt3}{6}$.

Góc giữa mặt phẳng $(SAB)$ và $(ABC)$ bằng $60^\circ$ nên:

$\tan 60^\circ = \dfrac{SH}{HM}$

$\sqrt3 = \dfrac{SH}{\dfrac{a\sqrt3}{6}}$

$\Rightarrow SH = \dfrac{a}{2}$.

Thể tích khối chóp $S.ABC$ là:

$V = \dfrac13 S_{ABC} \cdot SH$

$= \dfrac13 \cdot \dfrac{\sqrt3}{4}a^2 \cdot \dfrac{a}{2}$

$= \dfrac{a^3\sqrt3}{24}$.

Vậy $V = \dfrac{a^3\sqrt3}{24}$.

Chọn đáp án A.

Đáp án A

Đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ nên: $S_{ABC} = \dfrac{\sqrt3}{4}a^2$.

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $(ABC)$, theo đề bài $H$ thuộc $BC$ và $CH = 2HB$.

Suy ra $HB = \dfrac{a}{3},\ HC = \dfrac{2a}{3}$.

Vì $H$ nằm trên $BC$ nên $BH = \dfrac{a}{3}$.

Góc giữa $SB$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $60^\circ$ nên:

$\tan 60^\circ = \dfrac{SH}{BH}$

$\sqrt3 = \dfrac{SH}{\dfrac{a}{3}}$

$\Rightarrow SH = \dfrac{a\sqrt3}{3}$.

Thể tích khối chóp $S.ABC$ là:

$V = \dfrac13 S_{ABC} \cdot SH$

$= \dfrac13 \cdot \dfrac{\sqrt3}{4}a^2 \cdot \dfrac{a\sqrt3}{3}$

$= \dfrac{a^3}{12}$.

Vậy $V = \dfrac{a^3}{12}$.

Chọn đáp án A.

A N B C H K S

Theo giả thiết, \(HA=HC=\frac{1}{2}AC=a\) và \(SH\perp\left(ABC\right)\)

Xét \(\Delta v.ABC\) ta có : \(BC=AC.\cos\widehat{ACB}=2a\cos30^0=\sqrt{3}a\)

Do đó : \(S_{\Delta.ABC}=\frac{1}{2}AC.BC.\sin\widehat{ACB}=\frac{1}{2}.2a.\sqrt{3}a.\sin30^0=\frac{\sqrt{3}a^2}{2}\)

Vậy \(V_{S.ABC}=\frac{1}{3}SH.S_{ABC}=\frac{1}{3}.\sqrt{2}a.\frac{\sqrt{3}}{2}a^2=\frac{\sqrt{6}a^3}{6}\)

Vì CA=2HA nên d(C,(SAB))=2d(H, (SAB))  (1)

Gọi N là trung điểm của Ab, ta có HN là đường trung bình của tam giác ABC

Do đó HN//BC suy ra AB vuông góc với HN.

Lại có AB vuông góc với Sh nên AB vuông góc với mặt phẳng (SHN).

Do đó mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SHN).

Mà Sn là giao tuyến của 2 mặt phẳng vừa nêu, nên trong mặt phẳng (SHN), hạ HK vuông góc với SN, ta có HK vuông góc với mặt phẳng (SAB)

Vì vậy d(J, (SAB)) = HK. Kết hợp với (1), suy ra d(C. (SAB))=2HK (2)

Vì \(SH\perp\left(ABC\right)\) nên \(SH\perp HN\), xét tam giác v.SHN, ta có :

\(\frac{1}{HK^2}=\frac{1}{SH^2}+\frac{1}{HN^2}=\frac{1}{2a^2}+\frac{1}{HN^2}\)

Vì HN là đường trung bình của tam giác ABC nên \(HN=\frac{1}{2}BC=\frac{\sqrt{3}a}{2}\)

Do \(\frac{1}{HK^2}=\frac{1}{2a^2}+\frac{4}{3a^2}=\frac{11}{6a^2}\) suy ra \(HK=\frac{\sqrt{66}a}{11}\) (3)

Thế (3) vào (2) ta được \(d\left(C,\left(SAB\right)\right)=\frac{\sqrt{66}a}{11}\)