Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đáp án C
Từ (1), (2) => HK là đoạn vuông góc chung của SA và BC
Tam giác SHA vuông tại A có đường cao HK nên 1 HK 2 = 1 SH 2 + 1 AH 2 = 4 3 a 2 + 4 a 2 = 16 3 a 2 .
⇒ HK = 3 a 4 .
Chọn hệ trục tọa độ:
$B(0,0,0),\ C(a,0,0)$
Vì $(SBC) \perp (ABC)$ nên đặt mặt phẳng $(SBC)$ là mặt phẳng $Oxy$, khi đó:
$S\left(\dfrac{a}{2}, \dfrac{a\sqrt{3}}{2}, 0\right)$ (tam giác đều $SBC$ cạnh $a$)
Mặt phẳng $(ABC)$ vuông góc với $(SBC)$ theo giao tuyến $BC$ nên đặt:
$A(0,0,h)$
Vì tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ nên:
$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0$
$\vec{AB} = (0,0,-h),\ \vec{AC} = (a,0,-h)$
$\Rightarrow h^2 = a^2 \Rightarrow h = a$
⇒ $A(0,0,a)$
Xét hai đường thẳng:
$SA$: $\vec{SA} = \left(\dfrac{a}{2}, \dfrac{a\sqrt{3}}{2}, -a\right)$$BC$: $\vec{BC} = (a,0,0)$$\vec{BA} = (0,0,a)$Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau:
$d = \dfrac{|[\vec{BA}, \vec{SA}, \vec{BC}]|}{|\vec{SA} \times \vec{BC}|}$
Tính:
$\vec{SA} \times \vec{BC} = \left(0,\ -a^2,\ -\dfrac{a^2\sqrt{3}}{2}\right)$
$|\vec{SA} \times \vec{BC}| = a^2 \sqrt{1 + \dfrac{3}{4}} = \dfrac{a^2\sqrt{7}}{2}$
$[\vec{BA}, \vec{SA}, \vec{BC}] = -\dfrac{a^3\sqrt{3}}{2}$
Suy ra:
$d = \dfrac{\frac{a^3\sqrt{3}}{2}}{\frac{a^2\sqrt{7}}{2}} = \dfrac{a\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \dfrac{a\sqrt{21}}{7}$
Gọi M là trung điểm BC, suy ra A M ⊥ B C
Tam giác ABC đều cạnh a suy ra trung tuyến 
Tam giác vuông SAM có 
Chọn D.
Đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ nên:
$S_{ABC}=\dfrac{a^2\sqrt3}{4}$.
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Khi đó:
$AM \perp BC$ và: $AM=\dfrac{a\sqrt3}{2}$.
Vì $SA \perp (ABC)$ nên:
$SA \perp BC$.
Suy ra mặt phẳng $(SAM)$ vuông góc với $BC$.
Do đó góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ chính là:
$\widehat{SMA}=60^\circ$.
Xét tam giác vuông $SAM$ tại $A$:
$\tan 60^\circ=\dfrac{SA}{AM}$
$\Rightarrow \sqrt3=\dfrac{SA}{\dfrac{a\sqrt3}{2}}$
$\Rightarrow SA=\dfrac{3a}{2}$.
Thể tích khối chóp $S.ABC$ là:
$V=\dfrac13 S_{ABC}\cdot SA$
$=\dfrac13\cdot\dfrac{a^2\sqrt3}{4}\cdot\dfrac{3a}{2}$
$=\dfrac{a^3\sqrt3}{8}$.
Vậy:
$V=\dfrac{a^3\sqrt3}{8}$.
Chọn đáp án D.
Đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ nên:
$S_{ABC}=\dfrac{a^2\sqrt3}{4}$.
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Khi đó:
$AM \perp BC$ và: $AM=\dfrac{a\sqrt3}{2}$.
Vì $SA \perp (ABC)$ nên:
$SA \perp BC$.
Suy ra mặt phẳng $(SAM)$ vuông góc với $BC$.
Do đó góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ chính là:
$\widehat{SMA}=60^\circ$.
Xét tam giác vuông $SAM$ tại $A$:
$\tan 60^\circ=\dfrac{SA}{AM}$
$\Rightarrow \sqrt3=\dfrac{SA}{\dfrac{a\sqrt3}{2}}$
$\Rightarrow SA=\dfrac{3a}{2}$.
Thể tích khối chóp $S.ABC$ là:
$V=\dfrac13 S_{ABC}\cdot SA$
$=\dfrac13\cdot\dfrac{a^2\sqrt3}{4}\cdot\dfrac{3a}{2}$
$=\dfrac{a^3\sqrt3}{8}$.
Vậy:
$V=\dfrac{a^3\sqrt3}{8}$.
Chọn đáp án A.
Đáp án C
Phương pháp:
- Xác định góc giữa hai mặt phẳng S.ABC bởi định nghĩa:
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng mà cùng vuông góc với giao tuyến.
- Tính thể tích khối chóp theo công thức
V = 1 3 S h
