Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Gọi $AB=AC=a$ vì đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$.
Do $SA \perp (ABC)$ nên đặt: $SA=h$.
Thể tích khối chóp:
$V=\dfrac13\cdot\dfrac{a^2}{2}\cdot h=\dfrac{a^2h}{6}$.
Gọi $d$ là khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$.
Theo giả thiết: $d=3$.
Ta có công thức thể tích theo đáy $SBC$:
$V=\dfrac13 S_{SBC}\cdot d=S_{SBC}$.
Suy ra: $S_{SBC}=\dfrac{a^2h}{6}$.
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$.
Vì tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ nên:
$AM\perp BC$ và: $AM=\dfrac{a}{\sqrt2}$.
Mặt khác: $SA\perp BC$.
Suy ra mặt phẳng $(SAM)\perp BC$.
Do đó góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ là:
$\alpha=\widehat{SMA}$.
Xét tam giác vuông $SAM$ tại $A$:
$\tan\alpha=\dfrac{SA}{AM}=\dfrac{h}{a/\sqrt2}=\dfrac{h\sqrt2}{a}$.
Suy ra: $h=\dfrac{a\tan\alpha}{\sqrt2}$.
Thể tích:
$V=\dfrac{a^2}{6}\cdot\dfrac{a\tan\alpha}{\sqrt2} =\dfrac{a^3\tan\alpha}{6\sqrt2}$.
Mặt khác khoảng cách từ $A$ đến $(SBC)$ bằng:
$d=AM\sin\alpha =\dfrac{a}{\sqrt2}\sin\alpha=3$.
Suy ra: $a=\dfrac{3\sqrt2}{\sin\alpha}$.
Thế vào biểu thức thể tích:
$V=\dfrac1{6\sqrt2}\left(\dfrac{3\sqrt2}{\sin\alpha}\right)^3\tan\alpha$
$=\dfrac{9}{\sin^2\alpha\cos\alpha}$.
Đặt: $t=\cos\alpha$ với $0<t<1$.
Khi đó: $V=\dfrac{9}{(1-t^2)t}$.
Để $V$ nhỏ nhất thì: $(1-t^2)t=t-t^3$ phải lớn nhất.
Xét: $f(t)=t-t^3$.
$f'(t)=1-3t^2$.
$f'(t)=0 \Rightarrow t=\dfrac1{\sqrt3}$.
Vậy: $\cos\alpha=\dfrac{\sqrt3}{3}$.
Chọn đáp án C.
Có $SA \perp (ABC)$
$\Rightarrow SA$ là chiều cao của khối chóp.
Đáy $ABC$ là tam giác cân tại $A$, $AD$ là trung tuyến
$\Rightarrow AD \perp BC$, $D$ là trung điểm $BC$.
$SB$ tạo với $(ABC)$ góc $30^\circ$
$\Rightarrow \sin 30^\circ = \dfrac{SA}{SB}$
$\Rightarrow SA = \dfrac{SB}{2}$
$SB$ tạo với mặt phẳng $(SAD)$ góc $30^\circ$
$\Rightarrow \sin 30^\circ = \dfrac{BD}{SB}$
$\Rightarrow BD = \dfrac{SB}{2}$
Suy ra:
$SA = BD$
Mà $BD = \dfrac{BC}{2}$
$\Rightarrow SA = \dfrac{BC}{2}$
Diện tích đáy:
$S_{\triangle ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot BC \cdot AD = \dfrac{1}{2} \cdot BC \cdot a$
Thể tích khối chóp:
$V = \dfrac{1}{3} \cdot S_{\triangle ABC} \cdot SA$
$= \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot BC \cdot a \cdot \dfrac{BC}{2}$
$= \dfrac{a \cdot BC^2}{12}$
Vì tam giác cân tại $A$, $AD$ là trung tuyến:
$BC = \sqrt{3},a$
Thay vào:
$V = \dfrac{a \cdot 3a^2}{12} = \dfrac{a^3\sqrt{3}}{6}$
Chọn C
Áp dụng BĐT tam giác ta có:
a+b>c =>c-a<b =>c2-2ac+a2<b2
a+c>b =>b-c <a =>b2-2bc+c2<a2
b+c>a =>a-b<c =>a2-2ab+b2<c2
Suy ra: c2-2ac+a2+b2-2bc+c2+a2-2ab+b2<a2+b2+c2
<=>-2.(ab+bc+ca)+2.(a2+b2+c2)<a2+b2+c2
<=>-2(ab+bc+ca)<-(a2+b2+c2)
<=>2.(ab+bc+ca)<a2+b2+c2
Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$, $BC = 2a\sqrt2$ nên:
$AB = AC = \dfrac{BC}{\sqrt2} = 2a$.
Diện tích đáy:
$S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AB \cdot AC = \dfrac{1}{2}\cdot 2a \cdot 2a = 2a^2$.
Thể tích khối chóp:
$V = \dfrac13 S_{ABC} \cdot SH = a^3 \Rightarrow \dfrac13 \cdot 2a^2 \cdot SH = a^3 \Rightarrow SH = \dfrac{3a}{2}$.
Vì $(SBC)\perp(ABC)$ nên $SH \perp (SBC)$.
Gọi $H$ là trung điểm $BC$ thì:
$BH = CH = \dfrac{BC}{2} = a\sqrt2$.
Trong tam giác vuông cân $ABC$:
$AH = \sqrt{AB^2 - BH^2} = \sqrt{4a^2 - 2a^2} = a\sqrt2$.
=> $SA^2 = SH^2 + AH^2 = \left(\dfrac{3a}{2}\right)^2 + (a\sqrt2)^2 = \dfrac{9a^2}{4} + 2a^2 = \dfrac{17a^2}{4}$
$\Rightarrow SA = \dfrac{a\sqrt{17}}{2}$.
Góc giữa $SA$ và $(SBC)$ là góc giữa $SA$ và hình chiếu của nó lên $(SBC)$ nên:
$\sin \alpha = \dfrac{SH}{SA} = \dfrac{\dfrac{3a}{2}}{\dfrac{a\sqrt{17}}{2}} = \dfrac{3}{\sqrt{17}}$.
=> $\alpha \approx 45^\circ = \dfrac{\pi}{4}$.
Chọn đáp án C.
Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ nên:
$AB = BC = a \Rightarrow S_{ABC} = \dfrac{1}{2}a^2$.
Do $SA \perp (ABC)$ nên $SA$ là chiều cao của khối chóp.
Góc giữa $SC$ và mặt phẳng đáy bằng $60^\circ$ nên:
$\tan 60^\circ = \dfrac{SA}{AC}$.
Trong tam giác vuông cân $ABC$:
$AC = a\sqrt2$.
Suy ra:
$\sqrt3 = \dfrac{SA}{a\sqrt2} \Rightarrow SA = a\sqrt6$.
Thể tích khối chóp $S.ABC$ là:
$V = \dfrac13 S_{ABC} \cdot SA$
$= \dfrac13 \cdot \dfrac{1}{2}a^2 \cdot a\sqrt6$
$= \dfrac{a^3\sqrt6}{6}
= \dfrac{a^3\sqrt3}{6}\cdot \sqrt2$.
Vậy $V = \dfrac{a^3\sqrt6}{6}$.
Chọn đáp án B.
Ta có:
S B = a 2 + b 2 = a 2 A C 2 = a 2 + 3 a 2 = 4 a 2 ⇒ S C = a 2 + 4 a 2 = a 5 S K = S A 2 S B = a 2 a 2 = a 2 S H = S A 2 S C = a 2 a 5 = a 5 V S . A H K V S . A B C = S K . S H S B . S C = 1 2 . 1 5 = 1 10 ⇒ V S . A H K = 1 10 V S . A B C = 1 60 S A . B A . B C = 1 60 3 a 3
Đáp án cần chọn là C
