Đáp án B.

Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$ với $AB = AC = a\sqrt2$ nên:

$S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AB \cdot AC = \dfrac{1}{2}\cdot (a\sqrt2)^2 = a^2$.

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac13 S_{ABC} \cdot h = a^3 \Rightarrow \dfrac13 \cdot a^2 \cdot h = a^3 \Rightarrow h = 3a$.

Suy ra khoảng cách từ $S$ đến $(ABC)$ là $SH = 3a$.

Mặt bên $(SBC) \perp (ABC)$ nên $SH \perp (SBC)$.

Gọi $H$ là hình chiếu của $S$ lên $(ABC)$, $M$ là trung điểm $BC$ thì $SM \perp BC$ và $SM$ là chiều cao trong $(SBC)$.

Xét tam giác vuông $SAM$ (vì $SM \perp (ABC)$):

$SA^2 = SH^2 + HA^2$.

Ta có: $BC = 2a\sqrt2 \Rightarrow AM = \dfrac{BC}{2} = a\sqrt2$.

=> $SA^2 = (3a)^2 + (a\sqrt2)^2 = 9a^2 + 2a^2 = 11a^2 \Rightarrow SA = a\sqrt{11}$.

Góc giữa $SA$ và $(SBC)$ là góc giữa $SA$ và hình chiếu của nó lên $(SBC)$, chính là góc $\widehat{ASM}$.

Ta có: $\sin \alpha = \dfrac{SH}{SA} = \dfrac{3a}{a\sqrt{11}} = \dfrac{3}{\sqrt{11}}$.

Suy ra: $\alpha = \arcsin \dfrac{3}{\sqrt{11}} \approx \dfrac{\pi}{3}$.

Chọn đáp án B.

ĐÁP ÁN: B

a.

Do \(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow SA\perp BC\\AB\perp BC\left(gt\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\)

\(\Rightarrow BC\perp SB\)

b.

\(SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow AC\) là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABC)

\(\Rightarrow\widehat{SCA}\) là góc giữa SC và (ABC)

\(AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=a\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow tan\widehat{SCA}=\dfrac{SA}{AC}=1\Rightarrow\widehat{SCA}=45^0\)

ĐÁP ÁN: D

Chọn hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ C(0,a,0)$

Vì $SA \perp (ABC)$ nên đặt:

$S(0,0,h)$

Xét hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(SBC)$

$\vec{SB} = (a,0,-h),\ \vec{SC} = (0,a,-h)$

$\vec{n_2} = \vec{SB} \times \vec{SC} = (ah,\ ah,\ a^2)$

Góc giữa hai mặt phẳng:

$\cos 60^\circ = \dfrac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}|,|\vec{n_2}|}$

Tính:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = a^2$

$|\vec{n_2}| = a\sqrt{2h^2 + a^2}$

Suy ra:

$\dfrac{1}{2} = \dfrac{a}{\sqrt{2h^2 + a^2}}$

Giải ra:

$\dfrac{1}{4} = \dfrac{a^2}{2h^2 + a^2} \Rightarrow 2h^2 + a^2 = 4a^2$

$\Rightarrow h^2 = \dfrac{3a^2}{2} \Rightarrow h = \dfrac{a\sqrt{6}}{2}$

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow SA\perp BC\\BC\perp AB\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\)

Mà \(\left\{{}\begin{matrix}BC=\left(SBC\right)\cap\left(ABC\right)\\SB=\left(SAB\right)\cap\left(SBC\right)\\AB=\left(SAB\right)\cap\left(ABC\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\widehat{SBA}\) là góc giữa (SBC) và (ABC)

\(\Rightarrow\widehat{SBA}=60^0\Rightarrow SA=AB.tan60^0=a\sqrt{3}\)

\(SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow\widehat{SCA}\) là góc giữa SC và (ABC)

\(tan\widehat{SCA}=\dfrac{SA}{AC}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow\widehat{SCA}\approx40^053'\)

Gọi M là trung điểm SB \(\Rightarrow GM=\dfrac{1}{3}AM\) (tính chất trọng tâm)

\(\Rightarrow d\left(G;\left(SBC\right)\right)=\dfrac{1}{3}d\left(A;\left(SBC\right)\right)\)

Từ A kẻ \(AH\perp SB\Rightarrow AH\perp\left(SBC\right)\Rightarrow AH=d\left(A;\left(SBC\right)\right)\)

\(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{SA^2}+\dfrac{1}{AB^2}=\dfrac{1}{3a^2}+\dfrac{1}{a^2}=\dfrac{4}{3a^2}\Rightarrow AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)

\(\Rightarrow d\left(G;\left(SBC\right)\right)=\dfrac{1}{3}AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}\)

Chọn C

Xác định được 

Khi đó ta tính được 

Trong mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho ABCD là hình chữ nhật => AB//(SCD) nên

Từ (1) và (2) suy ra 

Xét tam giác vuông SAD có

Chọn hệ trục tọa độ:

$B(0,0,0),\ A(a,0,0),\ C(0,a,0)$ (tam giác vuông cân tại $B$)

Vì $SA \perp (ABC)$ nên đặt:

$S(a,0,h)$

Xét hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(SBC)$

$\vec{SB} = (-a,0,-h),\ \vec{SC} = (-a,a,-h)$

$\vec{n_2} = \vec{SB} \times \vec{SC} = (ah,\ 0,\ -a^2)$

Góc giữa hai mặt phẳng:

$\cos 60^\circ = \dfrac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}|,|\vec{n_2}|}$

Tính:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = a^2$

$|\vec{n_2}| = \sqrt{a^2h^2 + a^4} = a\sqrt{h^2 + a^2}$

Suy ra:

$\dfrac{1}{2} = \dfrac{a}{\sqrt{h^2 + a^2}}$

Giải ra:

$\dfrac{1}{4} = \dfrac{a^2}{h^2 + a^2} \Rightarrow h^2 + a^2 = 4a^2$

$\Rightarrow h^2 = 3a^2 \Rightarrow h = a\sqrt{3}$

Xét hai đường thẳng $AB$ và $SC$:

$\vec{AB} = (a,0,0),\ \vec{SC} = (-a,a,-a\sqrt{3})$

$\vec{AS} = (0,0,a\sqrt{3})$

Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau:

$d = \dfrac{|[\vec{AS}, \vec{AB}, \vec{SC}]|}{|\vec{AB} \times \vec{SC}|}$

Tính:

$\vec{AB} \times \vec{SC} = (0,\ a^2\sqrt{3},\ a^2)$

$|\vec{AB} \times \vec{SC}| = a^2\sqrt{3 + 1} = 2a^2$

$[\vec{AS}, \vec{AB}, \vec{SC}] = a^3\sqrt{3}$

Suy ra:

$d = \dfrac{a^3\sqrt{3}}{2a^2} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$