\(SB=\sqrt{\left(a\sqrt{3}\right)^2+a^2}=2a\)

\(SC=\sqrt{SA^2+AC^2}=a\sqrt{5}\)

Vì SB^2+BC^2=SC^2

nên ΔSBC vuông tại B

(SBC;ABC)=(SB;BA)=góc SBA=60 độ

a: BD vuông góc AC

BD vuông góc SA

=>BD vuông góc (SAC)

=>(SBD) vuông góc (SAC)

b: BC vuông góc AB

BC vuông góc SA
=>BC vuông góc (SAB)

=>BC vuông góc AK

mà AK vuông góc SB

nên AK vuông góc (SBC)

+ Gọi H là trung điểm của BC

Do tam giác ABC cân tại A nên AH ⊥ BC, tam giác SBC đều nên SH  ⊥ BC

Mà (SBC)  ⊥ (ABC)

Do đó SH  ⊥ (ABC)

+ Gọi K là hình chiếu vuông góc của H lên SA ⇒  HK ⊥ SA

Ta có  B C ⊥ S H B C ⊥ A H ⇒ B C ⊥ S A H ⇒ B C ⊥ H K

Vậy HK là đoạn vuông góc chung của BC và SA, do đó khoảng cách giữa BC và SA là HK.

+ Tính HK

Tam giác SBC đều cạnh a ⇒  SH =  a 3 2

Tam giác ABC vuông cân tại A ⇒  AH =  B C 2 = a 2

Tam giác SHA vuông tại H có HK là đường cao ⇒ 1 H K 2 = 1 S H 2 + 1 A H 2  

HK =  a 3 4

Vậy d(SA; BC) = a 3 4 .

Đáp án C

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow SA\perp BC\\BC\perp AB\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\)

Mà \(\left\{{}\begin{matrix}BC=\left(SBC\right)\cap\left(ABC\right)\\SB=\left(SAB\right)\cap\left(SBC\right)\\AB=\left(SAB\right)\cap\left(ABC\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\widehat{SBA}\) là góc giữa (SBC) và (ABC)

\(\Rightarrow\widehat{SBA}=60^0\Rightarrow SA=AB.tan60^0=a\sqrt{3}\)

\(SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow\widehat{SCA}\) là góc giữa SC và (ABC)

\(tan\widehat{SCA}=\dfrac{SA}{AC}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow\widehat{SCA}\approx40^053'\)

Gọi M là trung điểm SB \(\Rightarrow GM=\dfrac{1}{3}AM\) (tính chất trọng tâm)

\(\Rightarrow d\left(G;\left(SBC\right)\right)=\dfrac{1}{3}d\left(A;\left(SBC\right)\right)\)

Từ A kẻ \(AH\perp SB\Rightarrow AH\perp\left(SBC\right)\Rightarrow AH=d\left(A;\left(SBC\right)\right)\)

\(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{SA^2}+\dfrac{1}{AB^2}=\dfrac{1}{3a^2}+\dfrac{1}{a^2}=\dfrac{4}{3a^2}\Rightarrow AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)

\(\Rightarrow d\left(G;\left(SBC\right)\right)=\dfrac{1}{3}AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}\)