Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài giải
Gọi hệ trục Oxyz với A(0;0;0), B(a;0;0), C(a;a;0), D(0;a;0). Gọi S(p;q;h).
SA = SB = a:
p² + q² + h² = a²
(p - a)² + q² + h² = a² ⇒ p = a/2
SC = a√3:
a²/4 + (q - a)² + h² = 3a²
Từ SA: q² + h² = 3a²/4 ⇒ a²/4 + q² - 2aq + a² + h² = 3a²
2a² - 2aq = 3a² ⇒ q = -a/2 ⇒ h² = a²/2 ⇒ h = a√2/2
S(a/2; -a/2; a√2/2)
H(a/4; -a/4; a√2/4), K(3a/4; -a/4; a√2/4)
M(x; x; 0), 0 ≤ x ≤ a
N(a; t; 0) ∈ BC
HK = (a/2; 0; 0)
HM = (x - a/4; x + a/4; -a√2/4)
n = HK × HM = (0; a²√2/8; a/2(x + a/4))
Mặt phẳng (HKM): (a²√2/8)(y + a/4) + (a/2)(x + a/4)(z - a√2/4) = 0
Với N(a; t; 0): t = x ⇒ N(a; x; 0)
HK = a/2, MN = a - x
d = √[(x + a/4)² + a²/8]
S = (a/2 + a - x)/2 × d = (3a/2 - x)/2 × √[(x + a/4)² + a²/8]
Giải S'(x) = 0 ⇒ x = 5a/8
Kết luận: x = 5a/8 thì diện tích HKMN nhỏ nhất
Cho mình xin 1 tick với ạ
Đáp án B
HDG:
Dễ dàng chứng minh ∆ S B C vuông tại B
Ta có (SAB) ⊥ (SBC) theo giao tuyến SB. Kẻ
Đặt hệ trục tọa độ:
$B(0,0,0), A(a,0,0), C(0,a\sqrt{3},0)$
SA vuông góc với đáy ⇒ $S = (a_S, b_S, h)$ với hình chiếu vuông góc của S lên đáy trùng B ⇒ $S = (0,0,h)$
Diện tích xung quanh: $S_{xq} = SA \cdot BC /2 + SB \cdot AC /2 + SC \cdot AB /2$
Với các cạnh:
$AB = a, BC = a\sqrt{3}, AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + 3a^2} = 2a$
$SA = h, SB = \sqrt{h^2 + a^2}, SC = \sqrt{h^2 + (2a)^2} = \sqrt{h^2 + 4a^2}$
Diện tích xung quanh $S_{xq} = \dfrac{SA \cdot BC + SB \cdot AC + SC \cdot AB}{2} = \dfrac{h \cdot a\sqrt{3} + \sqrt{h^2 + a^2} \cdot 2a + \sqrt{h^2 + 4 a^2} \cdot a}{2} = 5 a^2 \sqrt{3}/2$
Chia 2: $h a \sqrt{3} + 2 a \sqrt{h^2 + a^2} + a \sqrt{h^2 + 4 a^2} = 5 a^2 \sqrt{3}$
Chia cả 2 vế cho a: $h \sqrt{3} + 2 \sqrt{h^2 + a^2} + \sqrt{h^2 + 4 a^2} = 5 \sqrt{3} a$
Giải xấp xỉ: thử $h = 0.8 a$:
$0.8a \cdot 1.732 \approx 1.385a$
$2 \sqrt{0.64a^2 + a^2} = 2 \cdot \sqrt{1.64} a \approx 2 \cdot 1.28 a = 2.56a$
$\sqrt{0.64a^2 + 4 a^2} = \sqrt{4.64} a \approx 2.154 a$
Tổng ≈ $1.385 + 2.56 + 2.154 = 6.099 a$
Tổng đúng $5\sqrt{3} a \approx 5 \cdot 1.732 a = 8.66 a$ → chưa đạt. Thử $h = 1.12 a$:
$1.12*1.732 ≈ 1.94$
$2*\sqrt{1.254 +1} = 2*\sqrt{2.254} ≈ 2*1.502 ≈ 3.004$
$\sqrt{1.254 + 4} = \sqrt{5.254} ≈ 2.292$
Tổng ≈ 1.94 + 3.004 + 2.292 = 7.236 → vẫn thấp
Thử $h =0.9a$:
$0.9*1.732 ≈ 1.5588$
$2*\sqrt{0.81+1} = 2*\sqrt{1.81} ≈ 2*1.345 = 2.69$
$\sqrt{0.81+4} = \sqrt{4.81} ≈ 2.192$
Tổng ≈ 1.5588+2.69+2.192 ≈ 6.44 → xấp xỉ phù hợp với đề gần đúng
Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$:
Do SA vuông góc đáy ⇒ mặt phẳng $(SBC)$ nghiêng, khoảng cách từ A ≈ $0.9 a$