Đáp án là C

Ta có:

Do đó 2 điểm A, B nhìn đoạn SC dưới một góc vuông. Suy ra mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. ABC là mặt cầu đường kính SC.

Xét tam giác ABC có 

suy ra 

Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên: $AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{a^2+3a^2}=2a$. Đặt hệ trục tọa độ: $B(0,0,0),\ A(a,0,0),\ C(0,a\sqrt3,0)$. Vì $SA\perp(ABC)$ và $SA=2a$ nên: $S(a,0,2a)$. Gọi $O(x,y,z)$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp. Từ $OA=OB$ suy ra: $(x-a)^2+y^2+z^2=x^2+y^2+z^2 \Rightarrow x=\dfrac a2$. Từ $OB=OC$ suy ra: $x^2+(y-a\sqrt3)^2+z^2=x^2+y^2+z^2 \Rightarrow y=\dfrac{a\sqrt3}{2}$. Từ $OA=OS$ suy ra: $z^2=(z-2a)^2 \Rightarrow z=a$. Vậy: $O\left(\dfrac a2,\dfrac{a\sqrt3}{2},a\right)$. Bán kính mặt cầu: $R=OA=\sqrt{\left(\dfrac a2\right)^2+\left(\dfrac{a\sqrt3}{2}\right)^2+a^2}$ $=\sqrt{\dfrac{a^2}{4}+\dfrac{3a^2}{4}+a^2}=\sqrt{2a^2}=a\sqrt2$. Vậy: $\boxed{R=a\sqrt2}$. Chọn đáp án B.

Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên:

$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{a^2+3a^2}=2a$.

Đặt hệ trục tọa độ:

$B(0,0,0),\ A(a,0,0),\ C(0,a\sqrt3,0)$.

Vì $SA\perp(ABC)$ và $SA=2a$ nên:

$S(a,0,2a)$.

Gọi $O(x,y,z)$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp.

Từ $OA=OB$ suy ra:

$(x-a)^2+y^2+z^2=x^2+y^2+z^2$

$\Rightarrow x=\dfrac a2$.

Từ $OB=OC$ suy ra:

$x^2+(y-a\sqrt3)^2+z^2=x^2+y^2+z^2$

$\Rightarrow y=\dfrac{a\sqrt3}{2}$.

Từ $OA=OS$ suy ra:

$z^2=(z-2a)^2$

$\Rightarrow z=a$.

Vậy:

$O\left(\dfrac a2,\dfrac{a\sqrt3}{2},a\right)$.

Bán kính mặt cầu:

$R=OA=\sqrt{\left(\dfrac a2\right)^2+\left(\dfrac{a\sqrt3}{2}\right)^2+a^2}$

$=\sqrt{\dfrac{a^2}{4}+\dfrac{3a^2}{4}+a^2}=\sqrt{2a^2}=a\sqrt2$.

Vậy:

$\boxed{R=a\sqrt2}$.

Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$ nên: $AB = AC = a$

Gọi $D$ là trung điểm của $BC$ thì $D$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Ta có: $BD = CD = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$

Vì $SA \perp (ABC)$ và $SA = 2a$ nên hình chóp $S.ABC$ là hình chóp vuông tại $A$.

Gọi $O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$.

Do tính đối xứng, $O$ nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ đi qua $D$.

Xét mặt phẳng chứa $SA$ và $AD$.

Ta có: $AD = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$

Xét tam giác vuông $SAO$ tại $A$:

$AO^2 = AD^2 + AO_{\perp}^2 = \left(\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 + a^2 = \dfrac{a^2}{2} + a^2 = \dfrac{3a^2}{2}$

=> $R = AO = a\sqrt{\dfrac{3}{2}} = \dfrac{a\sqrt{6}}{2}$

Vậy Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ là: $R = \dfrac{a\sqrt{6}}{2}$

Chọn C

S A M I C G B H

Vì tam giác ABC vuông cân tại C, \(AB=3a\Rightarrow CA=CB=\frac{3a}{\sqrt{2}}\)

Gọi M là trung điểm \(AC\Rightarrow MC=\frac{3a}{2\sqrt{2}}\Rightarrow MB=\frac{3a\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}\)

\(\Rightarrow BG=\frac{2}{3}BM=\frac{a\sqrt{5}}{\sqrt{2}}\Rightarrow SG=\sqrt{SB^2-BG^2}=a\)

\(\Rightarrow V_{S.ABC}=\frac{1}{3}SG.S_{\Delta ABC}=\frac{3a^2}{4}=\frac{3a^2}{4}\)

Kẻ \(GI\perp AC\left(I\in AC\right)\Rightarrow AC\perp\left(SGI\right)\)

Ta có : \(GI=\frac{1}{3}BC=\frac{a}{\sqrt{2}}\)

Kẻ \(GH\perp SI\left(H\in SI\right)\Rightarrow GH\perp\left(SAC\right)\Rightarrow d\left(G,\left(SAC\right)\right)=GH\)

Ta có \(\frac{1}{GH^2}=\frac{1}{GS^2}+\frac{1}{GI^2}\Rightarrow GH=\frac{a}{\sqrt{3}}\Rightarrow3d\left(B,\left(SAC\right)\right)=3GH=a\sqrt{3}\)

C

Chọn D