Gọi I là trung điểm của SA.

Tam giác SAB, SAC vuông tại  B , C   ⇒   I S   =   I A   =   I B = I C ⇒ I  là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC.  

Gọi H là trung điểm của BC. Vì  vuông tại  là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

⇒ I H   ⊥ A B C .

Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC. Theo bài ra ta có:

Xét tam giác vuông ABC có:

B C   =   A B 2   +   A C 2   =   2 ⇒ A H   = 1

Xét tam giác vuông IAH có:

Ta có:

Xét tam giác vuông SAB có

Ta có

Chọn A.

Chọn hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ B(1,0,0),\ C(0,3,0)$

Vì tam giác $SAB$ vuông tại $B$ nên:

$SB \perp AB$

Vì tam giác $SAC$ vuông tại $C$ nên:

$SC \perp AC$

Suy ra đặt:

$S(1,3,h)$

Gọi $R$ là bán kính mặt cầu ngoại tiếp.

Ta có:

$\dfrac43\pi R^3=\dfrac{5\sqrt5\pi}{6}$

Suy ra:

$R^3=\dfrac{5\sqrt5}{8}$

$\Rightarrow R=\dfrac{\sqrt5}{2}$

Gọi $O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp.

Do:

$OA=OB \Rightarrow x=\dfrac12$

$OA=OC \Rightarrow y=\dfrac32$

$OA=OS \Rightarrow z=\dfrac h2$

Khi đó:

$\begin{aligned}R^2&=OA^2\&=\left(\dfrac12\right)^2+\left(\dfrac32\right)^2+\left(\dfrac h2\right)^2\end{aligned}$

Thay $R=\dfrac{\sqrt5}{2}$:

$\dfrac54=\dfrac14+\dfrac94+\dfrac{h^2}{4}$

$\Rightarrow h^2=-1$

Điều này vô lý.

Ta kiểm tra lại dữ kiện thể tích khối cầu:

Nếu:

$V=\dfrac{5\sqrt5\pi}{6}$

thì:

$\dfrac43\pi R^3=\dfrac{5\sqrt5\pi}{6}$

$\Rightarrow R=\dfrac{\sqrt5}{2}$

Nhưng bán kính tối thiểu phải lớn hơn:

$\dfrac{BC}{2}=\dfrac{\sqrt{10}}{2}$

nên đề bài đã bị sai dữ kiện.

Chọn đáp án C.

Đáp án C

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ B(1,0,0),\ C(0,3,0)$

Vì tam giác $SAB$ vuông tại $B$ nên:

$SB \perp AB$

Vì tam giác $SAC$ vuông tại $C$ nên:

$SC \perp AC$

Suy ra có thể đặt:

$S(1,3,h)$

Gọi $R$ là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Ta có:

$\dfrac{4}{3}\pi R^3=\dfrac{5\sqrt5}{6}\pi$

Suy ra:

$R^3=\dfrac{5\sqrt5}{8}$

$\Rightarrow R=\dfrac{\sqrt5}{2}$

Mặt khác, với hệ tọa độ trên:

$\begin{aligned}R^2&=\dfrac{AB^2+AC^2+SA^2}{4}\&=\dfrac{1^2+3^2+h^2}{4}\&=\dfrac{10+h^2}{4}\end{aligned}$

Thay $R=\dfrac{\sqrt5}{2}$:

$\dfrac{10+h^2}{4}=\dfrac54$

$\Rightarrow h^2=-5$

Vô lý.

Đáp án C

Đáp án C

Kẻ hinh chữ nhật A B C D như hình vẽ bên  ⇒ S D ⊥ A B C D

Diện tích tam giác ABC là S A B C = 1 2 . A B . A C = a 2

Suy ra V S . A B C = 1 3 . S D . S Δ A B C = a 2 3 . S D = 2 3 a 3 ⇒ S D = 2 a .

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S . A B D C là

R = R A B D C 2 + S D 2 4 = a 5 2 2 + 2 a 2 4 = 3 a 2

Vậy bán kính mặt cầu cần tính là  R = 3 a 2 .

Chọn B

Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$ với $AB = AC = a$ nên: $BC = a\sqrt2$.

Tâm $O$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là trung điểm của $BC$:

$OA = OB = OC = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{a\sqrt2}{2}$.

Tam giác $SAB$ đều cạnh $a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với $(ABC)$ nên:

$SA = SB = AB = a$ và $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với $(ABC)$ tại trung điểm $M$ của $AB$.

Trong tam giác đều $SAB$: $SM = \dfrac{\sqrt3}{2}a$.

Mặt khác:

$OM = \sqrt{OA^2 - AM^2} = \sqrt{\left(\dfrac{a\sqrt2}{2}\right)^2 - \left(\dfrac{a}{2}\right)^2}= \sqrt{\dfrac{a^2}{2} - \dfrac{a^2}{4}}= \dfrac{a}{2}$.

=> $SO^2 = SM^2 + OM^2= \dfrac{3a^2}{4} + \dfrac{a^2}{4}= a^2 \Rightarrow SO = a$.

Tâm mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm $I$ của $SO$ nên:

$R = \dfrac{SO}{2} = \dfrac{a}{2}$.

Thể tích khối cầu:

$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3= \dfrac{4}{3}\pi \left(\dfrac{a}{2}\right)^3= \dfrac{\pi a^3}{6}$.

Vậy $V = \dfrac{\pi a^3}{6}$.

Chọn đáp án A.

Chọn A

Chọn D

Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$ nên:

$AB = AC = a \Rightarrow S_{ABC} = \dfrac{1}{2}a^2$.

Vì $(SAB)\perp(ABC)$ và tam giác $SAB$ cân tại $S$ nên $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với $(ABC)$ tại trung điểm $M$ của $AB$.

Gọi $SH$ là chiều cao của khối chóp.

Xét mặt phẳng $(SAC)$ và $(ABC)$, góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa $SH$ và hình chiếu của nó lên $(SAC)$.

Ta có: $\tan 60^\circ = \dfrac{SH}{AH}$.

Trong tam giác vuông cân $ABC$:

$AH = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{a}{2}$.

Suy ra: $\sqrt3 = \dfrac{SH}{\dfrac{a}{2}} \Rightarrow SH = \dfrac{a\sqrt3}{2}$.

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac13 S_{ABC} \cdot SH= \dfrac13 \cdot \dfrac{a^2}{2} \cdot \dfrac{a\sqrt3}{2}= \dfrac{a^3\sqrt3}{12}$.

Vậy $V = \dfrac{a^3\sqrt3}{12}$.

Chọn đáp án D.