Đáp án C

Kẻ hinh chữ nhật A B C D như hình vẽ bên  ⇒ S D ⊥ A B C D

Diện tích tam giác ABC là S A B C = 1 2 . A B . A C = a 2

Suy ra V S . A B C = 1 3 . S D . S Δ A B C = a 2 3 . S D = 2 3 a 3 ⇒ S D = 2 a .

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S . A B D C là

R = R A B D C 2 + S D 2 4 = a 5 2 2 + 2 a 2 4 = 3 a 2

Vậy bán kính mặt cầu cần tính là  R = 3 a 2 .

Chọn D

Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$ nên:

$AB = AC = a \Rightarrow BC = a\sqrt2$.

Do $SA \perp (ABC)$ nên tam giác $SBC$ vuông tại $A$, suy ra:

$SC^2 = SA^2 + AC^2 = (2a)^2 + a^2 = 5a^2 \Rightarrow SC = a\sqrt5$.

Mặt khác: $SB^2 = SA^2 + AB^2 = 4a^2 + a^2 = 5a^2 \Rightarrow SB = a\sqrt5$.

Xét tam giác $SBC$:

$SB^2 + BC^2 = 5a^2 + 2a^2 = 7a^2 \ne SC^2$.

Xét tam giác $SAB$:

$SA \perp AB \Rightarrow \triangle SAB$ vuông tại $A$.

Xét tam giác $SAC$:

$SA \perp AC \Rightarrow \triangle SAC$ vuông tại $A$.

Do đó $A$ cách đều $S,B,C$ nên $A$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp.

Bán kính: $R = SA = 2a$.

Vậy $R = 2a$.

Chọn đáp án B.

Chọn D

Chọn hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ C(0,a\sqrt3,0)$

Vì tam giác $SAB$ vuông tại $B$ nên:

$SB \perp AB$

Vì tam giác $SAC$ vuông tại $C$ nên:

$SC \perp AC$

Suy ra có thể đặt:

$S(a,a\sqrt3,h)$

Gọi $R$ là bán kính mặt cầu ngoại tiếp.

Thể tích khối cầu:

$\dfrac43\pi R^3=\dfrac{5\sqrt5}{6}\pi a^3$

Suy ra:

$R^3=\dfrac{5\sqrt5}{8}a^3$

$\Rightarrow R=\dfrac{a\sqrt5}{2}$

Gọi $O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp.

Do:

$OA=OB \Rightarrow x=\dfrac a2$

$OA=OC \Rightarrow y=\dfrac{a\sqrt3}{2}$

$OA=OS \Rightarrow z=\dfrac h2$

Khi đó:

$\begin{aligned}
R^2
&=OA^2\
&=\left(\dfrac a2\right)^2+\left(\dfrac{a\sqrt3}{2}\right)^2+\left(\dfrac h2\right)^2\
&=a^2+\dfrac{h^2}{4}\end{aligned}$

Thay $R=\dfrac{a\sqrt5}{2}$:

$\dfrac{5a^2}{4}=a^2+\dfrac{h^2}{4}$

$\Rightarrow h^2=a^2$

$\Rightarrow h=a$

Diện tích đáy:

$S_{ABC}=\dfrac12\cdot a\cdot a\sqrt3=\dfrac{a^2\sqrt3}{2}$

Thể tích khối chóp:

$\begin{aligned}
V
&=\dfrac13 S_{ABC}\cdot h\
&=\dfrac13\cdot\dfrac{a^2\sqrt3}{2}\cdot a\
&=\dfrac{a^3\sqrt3}{6}\end{aligned}$

Đáp án C.

Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) thì mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC có bán kính r = 1 2 . S A 2 + A B 2 + A C 2 . Với giả thiết của bài toán, ta có r = a 6 2 .

Phân tích phương án nhiễu:

Phương án A: Sai do HS nhớ đúng công thức tính r = 1 2 . S A 2 + A B 2 + A C 2  nhưng lại biến đổi nhầm x 2 + y 2 + z 2 = x + y + z .

Phương án B: Sai do HS có thể gắn hệ trục tọa độ Oxyz vào hình chóp (A trùng với O và B, C, S lần lượt thuộc các tia Ox, Oy, Oz) và nhầm rằng tâm của mặt cầu chính là trọng tâm G a 3 ; a 2 3 ; a 3 3  của tam giác ABC nên tính được r = O G = a 6 3 .

Phương án D: Sai do HS nhớ nhầm công thức r = 1 2 . S A 2 + A B 2 + A C 2  thành r = S A 2 + A B 2 + A C 2 .

Chọn hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ C(0,a\sqrt{2},0)$ (tam giác vuông tại $A$)

Vì $SA \perp (ABC),\ SA = a\sqrt{3}$ nên đặt:

$S(0,0,a\sqrt{3})$

Gọi $O(x,y,z)$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp ⇒

$OA = OB = OC = OS$

Từ $OA = OB$:

$x^2 + y^2 + z^2 = (x-a)^2 + y^2 + z^2 \Rightarrow x = \dfrac{a}{2}$

Từ $OA = OC$:

$x^2 + y^2 + z^2 = x^2 + (y - a\sqrt{2})^2 + z^2 \Rightarrow y = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$

Từ $OA = OS$:

$x^2 + y^2 + z^2 = x^2 + y^2 + (z - a\sqrt{3})^2 \Rightarrow z = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$

Suy ra:

$O\left(\dfrac{a}{2},\ \dfrac{a\sqrt{2}}{2},\ \dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)$

Bán kính:

$R^2 = OA^2 = \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2$

$= \dfrac{a^2}{4} + \dfrac{2a^2}{4} + \dfrac{3a^2}{4} = \dfrac{6a^2}{4} = \dfrac{3a^2}{2}$

Suy ra:

$R = \dfrac{a\sqrt{6}}{2}$

Chọn B

Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$ với $AB = AC = a$ nên: $BC = a\sqrt2$.

Tâm $O$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là trung điểm của $BC$:

$OA = OB = OC = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{a\sqrt2}{2}$.

Tam giác $SAB$ đều cạnh $a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với $(ABC)$ nên:

$SA = SB = AB = a$ và $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với $(ABC)$ tại trung điểm $M$ của $AB$.

Trong tam giác đều $SAB$: $SM = \dfrac{\sqrt3}{2}a$.

Mặt khác:

$OM = \sqrt{OA^2 - AM^2} = \sqrt{\left(\dfrac{a\sqrt2}{2}\right)^2 - \left(\dfrac{a}{2}\right)^2}= \sqrt{\dfrac{a^2}{2} - \dfrac{a^2}{4}}= \dfrac{a}{2}$.

=> $SO^2 = SM^2 + OM^2= \dfrac{3a^2}{4} + \dfrac{a^2}{4}= a^2 \Rightarrow SO = a$.

Tâm mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm $I$ của $SO$ nên:

$R = \dfrac{SO}{2} = \dfrac{a}{2}$.

Thể tích khối cầu:

$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3= \dfrac{4}{3}\pi \left(\dfrac{a}{2}\right)^3= \dfrac{\pi a^3}{6}$.

Vậy $V = \dfrac{\pi a^3}{6}$.

Chọn đáp án A.

Chọn đáp án C.

Đáp án C

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ B(1,0,0),\ C(0,3,0)$

Vì tam giác $SAB$ vuông tại $B$ nên:

$SB \perp AB$

Vì tam giác $SAC$ vuông tại $C$ nên:

$SC \perp AC$

Suy ra có thể đặt:

$S(1,3,h)$

Gọi $R$ là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Ta có:

$\dfrac{4}{3}\pi R^3=\dfrac{5\sqrt5}{6}\pi$

Suy ra:

$R^3=\dfrac{5\sqrt5}{8}$

$\Rightarrow R=\dfrac{\sqrt5}{2}$

Mặt khác, với hệ tọa độ trên:

$\begin{aligned}R^2&=\dfrac{AB^2+AC^2+SA^2}{4}\&=\dfrac{1^2+3^2+h^2}{4}\&=\dfrac{10+h^2}{4}\end{aligned}$

Thay $R=\dfrac{\sqrt5}{2}$:

$\dfrac{10+h^2}{4}=\dfrac54$

$\Rightarrow h^2=-5$

Vô lý.

Đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ nên:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 = a^2 + (a\sqrt3)^2 = a^2 + 3a^2 = 4a^2 \Rightarrow AC = 2a$.

Do $SA \perp (ABC)$ nên tam giác $SAC$ vuông tại $A$, suy ra:

$SC^2 = SA^2 + AC^2 = (2a\sqrt3)^2 + (2a)^2 = 12a^2 + 4a^2 = 16a^2 \Rightarrow SC = 4a$.

Xét tam giác $SBC$: $SB^2 = SA^2 + AB^2 = 12a^2 + a^2 = 13a^2$,

$BC = a\sqrt3 \Rightarrow BC^2 = 3a^2$.

Ta có: $SB^2 + BC^2 = 13a^2 + 3a^2 = 16a^2 = SC^2$.

Suy ra $\triangle SBC$ vuông tại $B$, nên tâm mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm của $SC$.

Bán kính: $R = \dfrac{SC}{2} = \dfrac{4a}{2} = 2a$.

Vậy $R = 2a$.

Chọn đáp án D.

Gọi I là trung điểm của SA.

Tam giác SAB, SAC vuông tại  B , C   ⇒   I S   =   I A   =   I B = I C ⇒ I  là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC.  

Gọi H là trung điểm của BC. Vì  vuông tại  là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

⇒ I H   ⊥ A B C .

Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC. Theo bài ra ta có:

Xét tam giác vuông ABC có:

B C   =   A B 2   +   A C 2   =   2 ⇒ A H   = 1

Xét tam giác vuông IAH có:

Ta có:

Xét tam giác vuông SAB có

Ta có

Chọn A.

Chọn hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ B(1,0,0),\ C(0,3,0)$

Vì tam giác $SAB$ vuông tại $B$ nên:

$SB \perp AB$

Vì tam giác $SAC$ vuông tại $C$ nên:

$SC \perp AC$

Suy ra đặt:

$S(1,3,h)$

Gọi $R$ là bán kính mặt cầu ngoại tiếp.

Ta có:

$\dfrac43\pi R^3=\dfrac{5\sqrt5\pi}{6}$

Suy ra:

$R^3=\dfrac{5\sqrt5}{8}$

$\Rightarrow R=\dfrac{\sqrt5}{2}$

Gọi $O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp.

Do:

$OA=OB \Rightarrow x=\dfrac12$

$OA=OC \Rightarrow y=\dfrac32$

$OA=OS \Rightarrow z=\dfrac h2$

Khi đó:

$\begin{aligned}R^2&=OA^2\&=\left(\dfrac12\right)^2+\left(\dfrac32\right)^2+\left(\dfrac h2\right)^2\end{aligned}$

Thay $R=\dfrac{\sqrt5}{2}$:

$\dfrac54=\dfrac14+\dfrac94+\dfrac{h^2}{4}$

$\Rightarrow h^2=-1$

Điều này vô lý.

Ta kiểm tra lại dữ kiện thể tích khối cầu:

Nếu:

$V=\dfrac{5\sqrt5\pi}{6}$

thì:

$\dfrac43\pi R^3=\dfrac{5\sqrt5\pi}{6}$

$\Rightarrow R=\dfrac{\sqrt5}{2}$

Nhưng bán kính tối thiểu phải lớn hơn:

$\dfrac{BC}{2}=\dfrac{\sqrt{10}}{2}$

nên đề bài đã bị sai dữ kiện.