Đáp án A

Đáp án B.

Gọi H là trung điểm của BC khi đó S H ⊥ B C  do S B C ⊥ A B C ⇒ S H ⊥ A B C  

Lại có: C B = 2 C H ⇒ d C ; S A B = 2 d H ; S A B

Dựng H E ⊥ A B H F ⊥ S E ⇒ d H = H F  

Mặt khác H E = A C 2 = 1 2 B C . sin A B C ^ = a 4 ; S H = a 3 2  

Do đó H F = S H . H E S H 2 + H E 2 = a 39 26 ⇒ d c = a 39 13

Đáp án D

Đáp án C

B C = A B . tan 30 0 = a 3 3 ⇒ A C = a 2 3 + a 2 = 2 3 3 a V = 1 3 . S A . 1 2 . A B . B C = 1 3 . S A . 1 2 . a . a 3 3 = a 3 3 36 ⇒ S A = a 2 S B = a 2 4 + a 2 = a 5 2 V = 1 3 . d ( A ; S B C ) . 1 2 . S B . B C = 1 3 . d . 1 2 . a 5 2 . a 3 3 = a 3 3 36 ⇒ d = a 5 5

Chọn B.

Đáp án C

Từ (1), (2) => HK là đoạn vuông góc chung của SA và BC

Tam giác SHA vuông tại A có đường cao HK nên  1 HK 2 = 1 SH 2 + 1 AH 2 = 4 3 a 2 + 4 a 2 = 16 3 a 2 .

⇒ HK = 3 a 4 .

Chọn hệ trục tọa độ:

$B(0,0,0),\ C(a,0,0)$

Vì $(SBC) \perp (ABC)$ nên đặt mặt phẳng $(SBC)$ là mặt phẳng $Oxy$, khi đó:

$S\left(\dfrac{a}{2}, \dfrac{a\sqrt{3}}{2}, 0\right)$ (tam giác đều $SBC$ cạnh $a$)

Mặt phẳng $(ABC)$ vuông góc với $(SBC)$ theo giao tuyến $BC$ nên đặt:

$A(0,0,h)$

Vì tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ nên:

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0$

$\vec{AB} = (0,0,-h),\ \vec{AC} = (a,0,-h)$

$\Rightarrow h^2 = a^2 \Rightarrow h = a$

⇒ $A(0,0,a)$

Xét hai đường thẳng:

Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau:

$d = \dfrac{|[\vec{BA}, \vec{SA}, \vec{BC}]|}{|\vec{SA} \times \vec{BC}|}$

Tính:

$\vec{SA} \times \vec{BC} = \left(0,\ -a^2,\ -\dfrac{a^2\sqrt{3}}{2}\right)$

$|\vec{SA} \times \vec{BC}| = a^2 \sqrt{1 + \dfrac{3}{4}} = \dfrac{a^2\sqrt{7}}{2}$

$[\vec{BA}, \vec{SA}, \vec{BC}] = -\dfrac{a^3\sqrt{3}}{2}$

Suy ra:

$d = \dfrac{\frac{a^3\sqrt{3}}{2}}{\frac{a^2\sqrt{7}}{2}} = \dfrac{a\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \dfrac{a\sqrt{21}}{7}$

Ta có A I ⊥ B C , S A ⊥ B C  

Suy ra  V = a 3 , S ∆ A B C = a 2 3 4 ⇒ S A = 4 a 3

Mà   A I = a 3 2

Trong tam giác vuông ∆ S A I  ta có 1 A K 2 = 1 A S 2 + 1 A I 2 Vậy d = A K = A S 2 . A I 2 A S 2 + A I 2 = 4 a 195 65

Đáp án C

Đáp án D