Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Vì $SA\perp(ABC)$ nên: $SA\perp AB,\ SA\perp BC$
Trong tam giác vuông $ABC$:
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}$ $=\sqrt{a^2+(2a)^2}$ $=a\sqrt5$
Xét tam giác vuông $SAB$:
$SB=\sqrt{SA^2+AB^2}$ $=\sqrt{a^2+a^2}$ $=a\sqrt2$
Xét tam giác vuông $SAC$:
$SC=\sqrt{SA^2+AC^2}$ $=\sqrt{a^2+5a^2}$ $=a\sqrt6$
$M$ là hình chiếu của $A$ lên $SB$ nên: $AM\perp SB$
$N$ là hình chiếu của $A$ lên $SC$ nên: $AN\perp SC$
Suy ra $MN\parallel BC$.
Ta có tỉ số đồng dạng: $\dfrac{SM}{SB}=\dfrac{SN}{SC}=\dfrac{SA^2}{SB\cdot SC}$
$=\dfrac{a^2}{a\sqrt2\cdot a\sqrt6} =\dfrac{1}{2\sqrt3}$
Thể tích khối chóp:
$V_{S.AMN} =V_{S.ABC}\left(\dfrac{SA^2}{SB\cdot SC}\right)^2$
Thể tích $S.ABC$:
$V_{S.ABC} =\dfrac13 S_{ABC}\cdot SA$
$S_{ABC}=\dfrac12 AB\cdot BC =\dfrac12\cdot a\cdot2a =a^2$
⇒ $V_{S.ABC} =\dfrac13 a^2\cdot a =\dfrac{a^3}{3}$
Suy ra: $V_{S.AMN} =\dfrac{a^3}{3}\left(\dfrac{1}{2\sqrt3}\right)^2$ $=\dfrac{a^3}{3}\cdot\dfrac{1}{12}$ $=\dfrac{a^3}{36}$
Vì $ABC$ vuông cân tại $B$ nên $AB=BC=a$
Do $SA\perp(ABC)$ nên $SA\perp AB,\ SA\perp BC$
$H$ là hình chiếu của $A$ lên $SB$ nên $AH\perp SB$
$K$ là hình chiếu của $A$ lên $SC$ nên $AK\perp SC$
Suy ra: $\widehat{AHB}=90^\circ$
$\widehat{AKB}=90^\circ$
Do đó các điểm $A,H,K,B$ cùng nằm trên mặt cầu có đường kính $AB$.
Bán kính mặt cầu: $R=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{a}{2}$
Thể tích khối cầu:
$V=\dfrac{4}{3}\pi R^3$ $=\dfrac{4}{3}\pi\left(\dfrac{a}{2}\right)^3$ $=\dfrac{\pi a^3}{6}$
Diện tích đáy: $S_{ABC}=\dfrac{\sqrt3}{4}a^2$
Thể tích khối chóp lớn:
$V_{S.ABC} =\dfrac13 S_{ABC}\cdot SA$
$=\dfrac13\cdot\dfrac{\sqrt3}{4}a^2\cdot2a$
$=\dfrac{\sqrt3}{6}a^3$
Tính các cạnh:
$SB=\sqrt{SA^2+AB^2} =\sqrt{4a^2+a^2} =a\sqrt5$
$SC=\sqrt{SA^2+AC^2} =a\sqrt5$
Vì $M,N$ là hình chiếu của $A$ lên $SB,SC$ nên
$\dfrac{SM}{SB}=\dfrac{SN}{SC} =\dfrac{SA^2}{SB\cdot SC}$
$=\dfrac{4a^2}{5a^2} =\dfrac45$
Suy ra: $\dfrac{V_{S.AMN}}{V_{S.ABC}} =\left(\dfrac45\right)^2 =\dfrac{16}{25}$
$\Rightarrow V_{S.AMN} =\dfrac{16}{25}\cdot\dfrac{\sqrt3}{6}a^3 =\dfrac{8\sqrt3}{75}a^3$
Khối cần tìm:
$V_{A.BCNM} =V_{S.ABC}-V_{S.AMN}$
$=\dfrac{\sqrt3}{6}a^3-\dfrac{8\sqrt3}{75}a^3$
$=\dfrac{9\sqrt3}{50}a^3$
Diện tích đáy: $S_{ABC}=\dfrac{\sqrt3}{4}a^2$
Thể tích khối chóp lớn:
$V_{S.ABC} =\dfrac13 S_{ABC}\cdot SA$
$=\dfrac13\cdot\dfrac{\sqrt3}{4}a^2\cdot2a$
$=\dfrac{\sqrt3}{6}a^3$
Tính các cạnh: $SB=\sqrt{SA^2+AB^2} =\sqrt{4a^2+a^2} =a\sqrt5$
$SC=\sqrt{SA^2+AC^2} =a\sqrt5$
Vì $M,N$ là hình chiếu của $A$ lên $SB,SC$ nên:
$\dfrac{SM}{SB}=\dfrac{SN}{SC} =\dfrac{SA^2}{SB\cdot SC}$
$=\dfrac{4a^2}{5a^2} =\dfrac45$
Suy ra tỉ số thể tích:
$\dfrac{V_{S.AMN}}{V_{S.ABC}} =\left(\dfrac45\right)^2 =\dfrac{16}{25}$
⇒ $V_{S.AMN} =\dfrac{16}{25}\cdot\dfrac{\sqrt3}{6}a^3 =\dfrac{8\sqrt3}{75}a^3$
Khối cần tìm:
$V_{A.BCNM} =V_{S.ABC}-V_{S.AMN}$
$=\dfrac{\sqrt3}{6}a^3-\dfrac{8\sqrt3}{75}a^3$
$=\dfrac{9\sqrt3}{50}a^3$
Vì $ABC$ vuông cân tại $B$ nên $AC=a\sqrt2$
Trong tam giác vuông $SAB$:
$SB=\sqrt{SA^2+AB^2}$ $=\sqrt{(2a)^2+a^2}$ $=a\sqrt5$
Trong tam giác vuông $SAC$:
$SC=\sqrt{SA^2+AC^2}$ $=\sqrt{4a^2+2a^2}$ $=a\sqrt6$
$H$ là hình chiếu của $A$ lên $SB$,
$K$ là hình chiếu của $A$ lên $SC$.
Ta có công thức quen thuộc: $\dfrac{SM}{SB}=\dfrac{SN}{SC}=\dfrac{SA^2}{SB\cdot SC}$
Suy ra $\dfrac{SH}{SB}=\dfrac{SK}{SC} =\dfrac{SA^2}{SB\cdot SC}$
$=\dfrac{4a^2}{a\sqrt5\cdot a\sqrt6} =\dfrac{4}{\sqrt{30}}$
Thể tích khối chóp lớn:
$V_{S.ABC} =\dfrac13 S_{ABC}\cdot SA$
$S_{ABC}=\dfrac12 AB\cdot BC =\dfrac{a^2}{2}$
⇒ $V_{S.ABC} =\dfrac13\cdot\dfrac{a^2}{2}\cdot2a =\dfrac{a^3}{3}$
Áp dụng tỉ số thể tích:
$V_{S.AHK} =V_{S.ABC}\left(\dfrac{SA^2}{SB\cdot SC}\right)$
$=\dfrac{a^3}{3}\cdot\dfrac{4}{\sqrt{30}}$
Rút gọn ta được $V_{S.AHK}=\dfrac{8a^3}{45}$
Vậy chọn B. $V=\dfrac{8a^3}{45}$