Đặt hệ trục tọa độ sao cho:

$B(0,0,0),\ A(a,0,0),\ C(0,2a,0)$.

Vì $SA\perp(ABC)$ và $SA=3a$ nên:

$S(a,0,3a)$.

Ta có:

$\vec{AC}=(-a,2a,0),\ \vec{AS}=(0,0,3a)$.

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(SAC)$ là:

$\vec n_1=\vec{AC}\times\vec{AS}=(6a^2,3a^2,0)$.

Suy ra có thể lấy:

$\vec n_1=(2,1,0)$.

Trong mặt phẳng $(SBC)$:

$\vec{BC}=(0,2a,0),\ \vec{BS}=(a,0,3a)$.

Vectơ pháp tuyến là:

$\vec n_2=\vec{BC}\times\vec{BS}=(6a^2,0,-2a^2)$.

Suy ra: $\vec n_2=(3,0,-1)$.

Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai vectơ pháp tuyến nên:

$\cos\alpha=\dfrac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1||\vec n_2|}=\dfrac{|2\cdot3+1\cdot0+0\cdot(-1)|}{\sqrt{2^2+1^2}\sqrt{3^2+(-1)^2}}=\dfrac{6}{\sqrt5\sqrt10}=\dfrac{6}{5\sqrt2}$.

Suy ra: $\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-\dfrac{36}{50}}=\sqrt{\dfrac{14}{50}}=\dfrac{\sqrt7}{5}$.

Vậy:

$\boxed{\sin\alpha=\dfrac{\sqrt7}{5}}$.

Chọn đáp án D.

Vì AB, AC, AS đôi một vuông góc nên

Chọn C.

Gọi $AB=AC=a$ vì đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$.

Do $SA \perp (ABC)$ nên đặt: $SA=h$.

Thể tích khối chóp:

$V=\dfrac13\cdot\dfrac{a^2}{2}\cdot h=\dfrac{a^2h}{6}$.

Gọi $d$ là khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$.

Theo giả thiết: $d=3$.

Ta có công thức thể tích theo đáy $SBC$:

$V=\dfrac13 S_{SBC}\cdot d=S_{SBC}$.

Suy ra: $S_{SBC}=\dfrac{a^2h}{6}$.

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$.

Vì tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ nên:

$AM\perp BC$ và: $AM=\dfrac{a}{\sqrt2}$.

Mặt khác: $SA\perp BC$.

Suy ra mặt phẳng $(SAM)\perp BC$.

Do đó góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ là:

$\alpha=\widehat{SMA}$.

Xét tam giác vuông $SAM$ tại $A$:

$\tan\alpha=\dfrac{SA}{AM}=\dfrac{h}{a/\sqrt2}=\dfrac{h\sqrt2}{a}$.

Suy ra: $h=\dfrac{a\tan\alpha}{\sqrt2}$.

Thể tích:

$V=\dfrac{a^2}{6}\cdot\dfrac{a\tan\alpha}{\sqrt2} =\dfrac{a^3\tan\alpha}{6\sqrt2}$.

Mặt khác khoảng cách từ $A$ đến $(SBC)$ bằng:

$d=AM\sin\alpha =\dfrac{a}{\sqrt2}\sin\alpha=3$.

Suy ra: $a=\dfrac{3\sqrt2}{\sin\alpha}$.

Thế vào biểu thức thể tích:

$V=\dfrac1{6\sqrt2}\left(\dfrac{3\sqrt2}{\sin\alpha}\right)^3\tan\alpha$

$=\dfrac{9}{\sin^2\alpha\cos\alpha}$.

Đặt: $t=\cos\alpha$ với $0<t<1$.

Khi đó: $V=\dfrac{9}{(1-t^2)t}$.

Để $V$ nhỏ nhất thì: $(1-t^2)t=t-t^3$ phải lớn nhất.

Xét: $f(t)=t-t^3$.

$f'(t)=1-3t^2$.

$f'(t)=0 \Rightarrow t=\dfrac1{\sqrt3}$.

Vậy: $\cos\alpha=\dfrac{\sqrt3}{3}$.

Chọn đáp án C.

Chọn A.

Dựng   SH ⊥ AC ,   do   ( SAC ) ⊥ ( ABC )   nên   SH ⊥ ( ABC ) ; AC = 2 a .     Dựng   HE ⊥ BC ; HF ⊥ SE ⇒ d ( H ; ( SBC ) ) = HF .     ΔSAC = ΔBCA ⇒ ΔSAC   vuông   tại   S .

Dễ   thấy   tan   ACB ^ =   1 3   ⇒   ACB ^   =   30 o   =   SAC ^ HC   =   SCcos 60 o   =   a 2 ;   HE   =   HCsin 30 o   = a 4 ;   SH   =   a 3 2 . Do   AC   =   4 HC   ⇒ d A = 4 d H = 4 . SH . HE SH 2 + HE 2 = 2 39 13 Do   đó   Sinα   = d A SA = 2 13 .

Đặt hệ trục tọa độ sao cho:

$B(0,0,0),\ C(a\sqrt3,0,0),\ A(0,a\sqrt3,0)$.

Vì $(SAC)\perp(ABC)$ nên mặt phẳng $(SAC)$ vuông góc với mặt phẳng $Oxy$. Suy ra điểm $S$ thuộc mặt phẳng đi qua $AC$ và vuông góc với $(ABC)$.

Ta đặt: $S(x,y,z)$.

Do: $SA=SB=a,\ SC=a$ nên:

$SB^2=x^2+y^2+z^2=a^2 \quad (1)$

$SC^2=(x-a\sqrt3)^2+y^2+z^2=a^2 \quad (2)$

Lấy $(2)-(1)$:

$-2a\sqrt3,x+3a^2=0 \Rightarrow x=\dfrac{a\sqrt3}{2}$.

Tương tự từ:

$SA^2=x^2+(y-a\sqrt3)^2+z^2=3a^2$ và $(1)$:

$-2a\sqrt3,y+3a^2=2a^2$

$\Rightarrow y=\dfrac{a\sqrt3}{6}$.

Thế vào $(1)$:

$\dfrac{3a^2}{4}+\dfrac{a^2}{12}+z^2=a^2$

$\Rightarrow z^2=\dfrac{a^2}{6}$.

Suy ra: $z=\dfrac{a}{\sqrt6}$.

Ta có:

$\vec{SA}=\left(-\dfrac{a\sqrt3}{2},\dfrac{5a\sqrt3}{6},-\dfrac{a}{\sqrt6}\right)$.

Trong mặt phẳng $(SBC)$:

$\vec{SB}=\left(-\dfrac{a\sqrt3}{2},-\dfrac{a\sqrt3}{6},-\dfrac{a}{\sqrt6}\right)$,

$\vec{SC}=\left(\dfrac{a\sqrt3}{2},-\dfrac{a\sqrt3}{6},-\dfrac{a}{\sqrt6}\right)$.

Vectơ pháp tuyến của $(SBC)$:

$\vec n=\vec{SB}\times\vec{SC}=(0,1,-\sqrt2)$.

Góc giữa $SA$ và $(SBC)$ thỏa:

$\sin\alpha=\dfrac{|\vec{SA}\cdot\vec n|}{|\vec{SA}||\vec n|}$.

Ta có:

$\vec{SA}\cdot\vec n=\dfrac{5a\sqrt3}{6}+\dfrac{a}{\sqrt3}=\dfrac{7a\sqrt3}{6}$,

$|\vec{SA}|=a\sqrt3$,

$|\vec n|=\sqrt3$.

Suy ra: $\sin\alpha=\dfrac{\dfrac{7a\sqrt3}{6}}{a\sqrt3\cdot\sqrt3}=\dfrac{7}{6\sqrt3}=\dfrac{\sqrt{13}}{13}$.

Vậy: $\boxed{\sin\alpha=\dfrac{\sqrt{13}}{13}}$.

Chọn đáp án C.

Đặt hệ trục tọa độ sao cho:

$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ C(a,a\sqrt3,0),\ D(0,a\sqrt3,0)$.

Vì $SA\perp(ABCD)$ và $SA=a$ nên:

$S(0,0,a)$.

Ta có:

$\vec{BD}=(-a,a\sqrt3,0)$.

Trong mặt phẳng $(SBC)$:

$\vec{SB}=(-a,0,a),\ \vec{BC}=(0,a\sqrt3,0)$.

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(SBC)$ là:

$\vec n=\vec{SB}\times\vec{BC}=(-a^2\sqrt3,0,-a^2\sqrt3)$.

Suy ra có thể lấy:

$\vec n=(1,0,1)$.

Góc giữa đường thẳng $BD$ và mặt phẳng $(SBC)$ là $\alpha$, khi đó:

$\sin\alpha=\dfrac{|\vec{BD}\cdot\vec n|}{|\vec{BD}||\vec n|}$.

Ta có:

$\vec{BD}\cdot\vec n=-a$,

$|\vec{BD}|=\sqrt{a^2+3a^2}=2a$,

$|\vec n|=\sqrt2$.

Suy ra: $\sin\alpha=\dfrac{a}{2a\sqrt2}=\dfrac{1}{2\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{4}$.

Vậy: $\boxed{\sin\alpha=\dfrac{\sqrt2}{4}}$.

Chọn đáp án C.

Ta có:

S B = a 2 + b 2 = a 2 A C 2 = a 2 + 3 a 2 = 4 a 2 ⇒ S C = a 2 + 4 a 2 = a 5 S K = S A 2 S B = a 2 a 2 = a 2 S H = S A 2 S C = a 2 a 5 = a 5 V S . A H K V S . A B C = S K . S H S B . S C = 1 2 . 1 5 = 1 10 ⇒ V S . A H K = 1 10 V S . A B C = 1 60 S A . B A . B C = 1 60 3 a 3

Đáp án cần chọn là C

Ta có A K ⊥ S C A K ⊥ α A K ⊥ B C B C ⊥ S A B  

Suy ra A K ⊥ S B C ⇒ A K ⊥ S B .

Vì ∆ S A B  vuông cân tại A nên K là trung điểm của SB. Ta có

V S . A H K V S . A B C = S A . S K . S H S A . S B . S C = S H 2 S C  

Ta có

A V = A B 2 + B C 2 = 2 a S V = A C 2 + S A 2 = a 5 . 

Khi đó S H S C = S H . S C S C 2 = S A 2 S C 2 = 1 5  

Suy ra V S . A H K V S . A B C = S H 2 S C = 1 10  

Mặt khác V S . A B C = 1 3 S A . 1 2 A B . B C = a 3 3 6  Vậy  V S . A H K = a 3 3 60

Đáp án C