Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ nên: $AB = BC = a$

$\Rightarrow AC = a\sqrt2$

Do $SA \perp (ABC)$ nên $SA \perp AB,\ SA \perp BC$.

Gọi $H,\ K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SB$ và $SC$.

Khi đó: $AH \perp SB,\ AK \perp SC$

=> $\angle AHB = \angle AKB = 90^\circ$

Xét tứ diện $A.HKB$.

Ta có:

$AH \perp SB$ và $BH \subset SB \Rightarrow AH \perp BH$

$\Rightarrow \triangle AHB$ vuông tại $H$

Tương tự, $\triangle AKB$ vuông tại $K$

Do đó, bốn điểm $A,H,K,B$ cùng nằm trên mặt cầu đường kính $AB$.

Suy ra mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $A.HKB$ có:

- Đường kính: $AB = a$

- Bán kính: $R = \dfrac{a}{2}$

Thể tích khối cầu:

$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$

$V = \dfrac{4}{3}\pi \left(\dfrac{a}{2}\right)^3$

$V = \dfrac{4}{3}\pi \cdot \dfrac{a^3}{8}$

$V = \dfrac{\pi a^3}{6}$

Vậy Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp $A.HKB$ là: $V = \dfrac{\pi a^3}{6}$

Đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $C$ nên: $AB = a$ là cạnh huyền

Ta có: $SA \perp (ABC)$ và $SA = 3a$

Vì $SA \perp (ABC)$ nên:

$SA \perp AC,\ SA \perp BC$

Suy ra hình chóp $S.ABC$ là hình chóp vuông tại A.

Trong hình chóp vuông, tâm mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm của đoạn nối từ đỉnh vuông góc đến tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.

Với tam giác vuông $ABC$, tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của cạnh huyền $AB$.

Gọi $O$ là trung điểm của $AB$.

Khi đó:

$OA = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{a}{2}$

Xét tam giác vuông $SAO$ tại $A$:

$SO^2 = SA^2 + OA^2$

$SO^2 = (3a)^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2$

$SO^2 = 9a^2 + \dfrac{a^2}{4}$

$SO^2 = \dfrac{36a^2 + a^2}{4} = \dfrac{37a^2}{4}$

$\Rightarrow SO = \dfrac{\sqrt{37}}{2}a$

$SO$ chính là bán kính mặt cầu ngoại tiếp:

$R = \dfrac{\sqrt{37}}{2}a$

Thể tích khối cầu:

$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$

$V = \dfrac{4}{3}\pi \left(\dfrac{\sqrt{37}}{2}a\right)^3$

$V = \dfrac{4}{3}\pi \cdot \dfrac{37\sqrt{37}}{8}a^3$

$V = \dfrac{37\sqrt{37}}{6}\pi a^3$

Vậy Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp là: $V = \dfrac{37\sqrt{37}}{6}\pi a^3$

Vì $ABC$ vuông cân tại $B$ nên $AB=BC=a$

Do $SA\perp(ABC)$ nên $SA\perp AB,\ SA\perp BC$

$H$ là hình chiếu của $A$ lên $SB$ nên $AH\perp SB$

$K$ là hình chiếu của $A$ lên $SC$ nên $AK\perp SC$

Suy ra: $\widehat{AHB}=90^\circ$

$\widehat{AKB}=90^\circ$

Do đó các điểm $A,H,K,B$ cùng nằm trên mặt cầu có đường kính $AB$.

Bán kính mặt cầu: $R=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{a}{2}$

Thể tích khối cầu:

$V=\dfrac{4}{3}\pi R^3$ $=\dfrac{4}{3}\pi\left(\dfrac{a}{2}\right)^3$ $=\dfrac{\pi a^3}{6}$

A E M B C H N S

Xét tam giác ABC có : \(BC=AB.\tan60^0=2a\sqrt{3}\Rightarrow S_{\Delta ABC}=2a^2\sqrt{3}\)

\(V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SA.S_{\Delta ABC}=\frac{1}{3}a\sqrt{3}.2a^2\sqrt{3}=2a^3\)

- Gọi N là trung điểm cạnh SA. Do SB//(CMN) nên d(SB. CM)=d(SB,(CMN))

                                                                                                 =d(B,(CMN))

                                                                                                 =d(A,(CMN))

- Kẻ \(AE\perp MC,E\in MC\) và kẻ \(AH\perp NE,H\in NE\), ta chứng minh được \(AH\perp\left(CMN\right)\Rightarrow d\left(A,\left(CMN\right)\right)=AH\)

Tính \(AE=\frac{2S_{\Delta AMC}}{MC}\) trong đó :

                              \(S_{\Delta AMC}=\frac{1}{2}AM.AC.\sin\widehat{CAM}=\frac{1}{2}a.4a\frac{\sqrt{3}}{2}=a^2\sqrt{3};MC=a\sqrt{13}\)

                             \(\Rightarrow AE=\frac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{13}}\)

Tính được \(AH=\frac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{29}}\Rightarrow d\left(A,\left(CMN\right)\right)=\frac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{29}}\Rightarrow d\left(SB,CM\right)=\frac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{29}}\)

a) Dễ dàng chứng minh tam giác ABC và ACD đều

Suy ra AC=a, SA= AC.tan(gócSCA)=a.tan(60⁰)

\(V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.SA.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.a\sqrt{3}.a^2.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a^3}{2}\)

b) Có 2 cách làm để tìm khoảng cách từ H đến mp(SCD), nhưng bạn nên chọn phương pháp tọa độ hóa cho dễ

Chọn A làm gốc tọa độ , các tia AD, AI, AS lần lượt trùng tia Ax, Ay, Az

Có ngay tọa độ các điểm \(S\left(0;0;a\sqrt{3}\right)\) , \(D\left(a;0;0\right)\) , \(I\left(0;\frac{a\sqrt{3}}{2};0\right)\)

\(\Rightarrow C\left(\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2};0\right)\)

theo số liệu đã cho, dễ xác định được điểm H chia đoạn SI với tỷ lệ 2:1

\(\Rightarrow H\left(0;\frac{a}{\sqrt{3}};\frac{a}{\sqrt{3}}\right)\)

Bây giờ chỉ cần viết pt (SCD) là tính được ngay khoảng cách từ H đến SCD

\(\left(SCD\right):\sqrt{3}x+y+z-\sqrt{3}=0\)

\(d\left(H\text{/}\left(SCD\right)\right)=\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{5}}\)

Bạn ơi bạn chỉ mình cách bình thường được ko? Vì mình chưa học tọa độ hóa.

Dễ dàng chứng minh MN // BC

Xét \(\Delta SBC\) có MN // BC và MN đi qua trọng tâm G

\(\Rightarrow\) \(\begin{cases}SM=\frac{2}{3}SB\\SN=\frac{2}{3}SC\end{cases}\)

Sử dụng công thức tỉ lệ thể tích đố với 2 khối tứ diện S.AMN và S.ABC ta có

\(\frac{V_{S.AMN}}{V_{S.ABC}}=\frac{SA}{SA}.\frac{SM}{SB}.\frac{SN}{SC}=1.\frac{2}{3}.\frac{2}{3}=\frac{4}{9}\\ \Rightarrow V_{S.AMN}=\frac{4}{9}.V_{S.ABC}\)

Tính được \(V_{S.ABC}=\frac{1}{6}SA.AB.BC=\frac{a^3}{6}\)

\(\Rightarrow V_{S.AMN}=\frac{2a^3}{27}\)

Vì $ABC$ vuông cân tại $B$ nên: $AB=BC=2a$

$H$ là hình chiếu của $A$ lên $SB$ nên: $AH\perp SB$

⇒ $\widehat{AHB}=90^\circ$

$K$ là hình chiếu của $A$ lên $SC$ nên: $AK\perp SC$

⇒ $\widehat{AKC}=90^\circ$

Suy ra các điểm $A,H,K,C,B$ cùng nằm trên mặt cầu có đường kính $AC$.

Tính $AC$: $AC=\sqrt{AB^2+BC^2}$ $=\sqrt{(2a)^2+(2a)^2}$ $=2a\sqrt2$

Bán kính mặt cầu: $R=\dfrac{AC}{2}=a\sqrt2$

Thể tích khối cầu:

$V=\dfrac{4}{3}\pi R^3$ $=\dfrac{4}{3}\pi(a\sqrt2)^3$ $=\dfrac{4}{3}\pi\cdot2\sqrt2,a^3$ $=\dfrac{8\sqrt2}{3}\pi a^3$