Đáp án B

Gọi I, E, F lần lượt là trung điểm của AC, AB, HC.

IE là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác AHB, IF là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác HKC.

Suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AHKB. Suy ra bán kính  R = a 2 2

Đáp án D

Phương pháp giải:

Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp đi qua các đỉnh của khối chóp bằng phương pháp dựng hình, từ đó dựa vào tính toán xác định bán kính – thể tích mặt cầu.

Lời giải:

Theo giả thiết, ta có  và 

Do 

Từ (1) và (2) suy ra ba điểm B, H, K cùng nhìn xuống AC dưới một góc 90 °  nên 

Chọn C.

Đặt hệ trục tọa độ:

$B(0,0,0),\ A(a,0,0),\ C(0,2a,0)$.

Vì $SA\perp(ABC)$ và $SA=a$ nên:

$S(a,0,a)$.

Điểm $M$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SB$.

Ta có:

$\vec{SB}=(-a,0,-a)$.

Phương trình tham số của $SB$:

$(x,y,z)=(a,0,a)+t(-a,0,-a)$.

Suy ra:

$M(a-at,0,a-at)$.

Điều kiện:

$\overrightarrow{AM}\perp SB$

$\Rightarrow ( -at,0,a-at)\cdot(-a,0,-a)=0$

$\Rightarrow t=\dfrac12$.

Vậy:

$M\left(\dfrac a2,0,\dfrac a2\right)$.

Điểm $N$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SC$.

Ta có:

$\vec{SC}=(-a,2a,-a)$.

Phương trình $SC$:

$(x,y,z)=(a,0,a)+t(-a,2a,-a)$.

Suy ra:

$N(a-at,2at,a-at)$.

Điều kiện:

$\overrightarrow{AN}\perp SC$

$\Rightarrow (-at,2at,a-at)\cdot(-a,2a,-a)=0$

$\Rightarrow 6t-1=0$

$\Rightarrow t=\dfrac16$.

Vậy:

$N\left(\dfrac{5a}{6},\dfrac a3,\dfrac{5a}{6}\right)$.

Thể tích khối chóp $S.AMN$:

$V=\dfrac16\left|\det(\vec{SA},\vec{SM},\vec{SN})\right|$.

Ta có:

$\vec{SA}=(0,0,-a)$,

$\vec{SM}=\left(-\dfrac a2,0,-\dfrac a2\right)$,

$\vec{SN}=\left(-\dfrac a6,\dfrac a3,-\dfrac a6\right)$.

Suy ra:

$\det(\vec{SA},\vec{SM},\vec{SN})=\dfrac{a^3}{6}$.

Do đó:

$V=\dfrac16\cdot\dfrac{a^3}{6}=\dfrac{a^3}{36}$.

Vậy:

$\boxed{V=\dfrac{a^3}{36}}$.

a: Xét tứ giác OBDC có

\(\widehat{OBD}+\widehat{OCD}=180^0\)

Do đó: OBDC là tứ giác nội tiếp

b: Xét ΔEBA và ΔECB có

\(\widehat{E}\) chung

\(\widehat{EAB}=\widehat{EBC}\)

Do đó: ΔEBA\(\sim\)ΔECB

Suy ra: EB/EC=EA/EB

hay \(EB^2=EC\cdot EA\)

Áp dụng BĐT tam giác ta có:

a+b>c =>c-a<b =>c²-2ac+a²<b²

a+c>b =>b-c <a =>b²-2bc+c²<a²

b+c>a =>a-b<c =>a²-2ab+b²<c²

Suy ra: c²-2ac+a²+b²-2bc+c²+a²-2ab+b²<a²+b²+c²

<=>-2.(ab+bc+ca)+2.(a²+b²+c²)<a²+b²+c²

<=>-2(ab+bc+ca)<-(a²+b²+c²)

<=>2.(ab+bc+ca)<a²+b²+c²

Đáp án A

Gọi M là trung điểm của AC. Tam giác ABC vuông tại B, do đó M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Gọi O là trung điểm của AC, suy ra OM // SA. Mà

Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ nên:

$AB = BC = a \Rightarrow AC = a\sqrt2$.

Do $SA \perp (ABC)$ nên $SA \perp AC$, suy ra tam giác $SAC$ vuông tại $A$.

Góc giữa $SC$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $60^\circ$ nên:

$\tan 60^\circ = \dfrac{SA}{AC}$

$\sqrt3 = \dfrac{SA}{a\sqrt2}$

$\Rightarrow SA = a\sqrt6$.

Khi đó:

$SB^2 = SA^2 + AB^2 = 6a^2 + a^2 = 7a^2 \Rightarrow SB = a\sqrt7$.

$SC^2 = SA^2 + AC^2 = 6a^2 + 2a^2 = 8a^2 \Rightarrow SC = 2a\sqrt2$.

Xét tam giác $SBC$:

$BC = a,\ SB = a\sqrt7,\ SC = 2a\sqrt2$.

Ta có:

$SB^2 + BC^2 = 7a^2 + a^2 = 8a^2 = SC^2$

$\Rightarrow \triangle SBC$ vuông tại $B$.

Suy ra tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là trung điểm của $SC$, bán kính:

$R = \dfrac{SC}{2} = a\sqrt2$.

Thể tích khối cầu là:

$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{4}{3}\pi (a\sqrt2)^3 = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 2\sqrt2 a^3 = \dfrac{8\sqrt2\pi a^3}{3}$.

Vậy $V = \dfrac{8\sqrt2\pi a^3}{3}$.

Chọn đáp án A.

hoành độ giao điểm là nghiệm của pt

\(x^3+3x^2+mx+1=1\Leftrightarrow x\left(x^2+3x+m\right)=0\)

\(x=0;x^2+3x+m=0\)(*)

để (C) cắt y=1 tại 3 điểm phân biệt thì pt (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0

\(\Delta=3^2-4m>0\) và \(0+m.0+m\ne0\Leftrightarrow m\ne0\)

từ pt (*) ta suy ra đc hoành độ của D, E là nghiệm của (*)

ta tính \(y'=3x^2+6x+m\)

vì tiếp tuyến tại Dvà E vuông góc

suy ra \(y'\left(x_D\right).y'\left(x_E\right)=-1\)

giải pt đối chiếu với đk suy ra đc đk của m

vì (C) đi qua điểm A nên tọa độ điểm A thỏa mãn pt \(y=\frac{ax^2-bx}{x-1}\) ta có \(\frac{5}{2}=\frac{a+b}{-2}\Rightarrow a+b=-5\)

vì tiếp tuyến của đồ thị tại điểm O có hệ số góc =-3 suy ra y'(O)=-3

ta có \(y'=\frac{ax^2-2ax+b}{\left(x-1\right)^2}\) ta có y'(O)=b=-3 suy ra a=-2

vậy ta tìm đc a và b