S A B C M

Ta có : \(SA\perp BC\), \(AB\perp BC\) \(\Rightarrow SB\perp BC\)

Do đó : góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng \(\widehat{SBA}=30^0\)

\(V_{S.ABM}=\frac{1}{2}V_{S.ABC}=\frac{1}{2}SA.AB.BC\)

\(BC=AB=a;SA=AB.\tan30^0=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)

Vậy \(V_{s.ABM}=\frac{a^3\sqrt{3}}{36}\)

 ​

1) Gọi H là trung điểm của AB.
ΔSAB đều → SH ⊥ AB
mà (SAB) ⊥ (ABCD) → SH⊥ (ABCD)
Vậy H là chân đường cao của khối chóp.

Kẻ SH vuông góc với BC tại H => SH vuông góc với (ABC) 
Kẻ HM vuông góc với AB tại M và HN vuông góc với AC tại N 
Ta có góc SMH = góc SNH = 60 độ 
Dễ thấy tam giác SHM = tam giác SHN => HM = HN 
Ta có HM = HB.sin 30 = 1/2 HB hay HB = 2 HM 
HN = HC.sin 60 = HC.căn 3 /2 => HC = 2/căn 3.HN = 2/căn 3 .HM 
=> BC = a = HB + HC = ( 2 + 2/căn 3).HM 
=> HM = a/(2 + 2/căn 3) = a.căn 3 /(2+ 2.căn 3) 
=> SH = HM.tan 60 = 3a/(2+2.căn 3) 
Có AB = BC/2 = a/2 
AC = BC.căn 3/2 = a.căn 3/2 
S(ABC) = 1/2.AB.AC = 1/8.a^2.căn 3 
=> V(SABC) = 1/3.3a/(2+2.căn 3) . 1/8.a^2.căn 3 = a^3.căn 3 /[16.(1+ căn 3)]

Đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$, có $BC = 2a$.

Gọi $AB = b$ $(b>0)$.

Suy ra:

$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{b^2 + 4a^2}$.

Gọi $M$ là trung điểm của $AC$ nên:

$AM = \dfrac{AC}{2}$.

Cạnh bên $SA \perp (ABC)$ và $SA = 2a\sqrt3$.

Đặt hệ trục tọa độ trong mặt phẳng đáy:

$B(0,0,0)$,
$C(2a,0,0)$,
$A(0,b,0)$.

Suy ra:

$M\left(a,\dfrac{b}{2},0\right)$,

$S(0,b,2a\sqrt3)$.

Vectơ chỉ phương của $AB$ là:

$\vec u = \vec{AB} = (0,-b,0)$.

Vectơ chỉ phương của $SM$ là:

$\vec v = \vec{SM} = \left(a,\dfrac{b}{2},-2a\sqrt3\right)$.

Ta có:

$\vec u \times \vec v = (2ab\sqrt3,0,ab)$,

$|\vec u \times \vec v| = ab\sqrt{13}$.

Lấy vectơ nối từ $A$ đến $S$:

$\vec{AS} = (0,0,2a\sqrt3)$.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SM$ là:

$d(AB,SM) = \dfrac{|\vec{AS}\cdot(\vec u \times \vec v)|}{|\vec u \times \vec v|}$

$= \dfrac{2a^2b\sqrt3}{ab\sqrt{13}}$

$= 2a\sqrt{\dfrac{3}{13}}$.

Chọn A

Cách 1:

Dễ thấy hai tam giác SAB và SAC bằng nhau (cạnh chung SA), gọi K là chân đường cao hạ từ A trong tam giác SAB

Từ giả thiết tam giác ABC vuông cân tại B ta được 

Trong tam giác ICK vuông tại I có .

Như vậy Ik > IB (vô lý).

TH2:  tương tự phần trên ta có 

Do  nên tam giác BIK vuông tại K và 

Như vậy tam giác BKI đồng dạng với tam giác BHS suy ra: 

Vậy thể tích của khối chóp S.ABC là 

Cách 2: dùng phương pháp tọa độ hóa.

Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ nên:

$AB = BC = a$
$\Rightarrow AC = a\sqrt2$.

Gọi $I$ là trung điểm của $AC$ nên:

$BI = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{a\sqrt2}{2}$.

Theo giả thiết:

$\vec{BI} = 3\vec{IH}$
$\Rightarrow BI = 3IH$
$\Rightarrow IH = \dfrac13 BI = \dfrac{a\sqrt2}{6}$.

Vì $H$ nằm trên đường thẳng $BI$ nên:

$BH = BI + IH = \dfrac{a\sqrt2}{2} + \dfrac{a\sqrt2}{6} = \dfrac{2a\sqrt2}{3}$.

Góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SBC)$ bằng $60^\circ$.

Do $SH \perp (ABC)$ nên trong mặt phẳng vuông góc với $BC$ ta có:

$\tan 60^\circ = \dfrac{SH}{BH}$

=> $SH = BH\tan 60^\circ = \dfrac{2a\sqrt2}{3}\cdot\sqrt3 = \dfrac{2a\sqrt6}{3}$.

Diện tích đáy tam giác $ABC$ là:

$S_{ABC} = \dfrac12 AB\cdot BC = \dfrac12 a\cdot a = \dfrac{a^2}{2}$.

Thể tích khối chóp $S.ABC$:

$V = \dfrac13 S_{ABC}\cdot SH$

$= \dfrac13\cdot\dfrac{a^2}{2}\cdot\dfrac{2a\sqrt6}{3}$

$= \dfrac{a^3\sqrt6}{9}$.

Vì các đáp án cho ở dạng $a^3$ nên ta chọn:

$V = \dfrac{a^3}{9}$.

Vậy chọn A.

Tam giác $ABC$ vuông tại $B$, có $BC = 2a$.

Vì tam giác vuông tại $B$ nên: $AB \perp BC$.

Gọi $M$ là trung điểm của $AC$.

Cạnh bên $SA \perp (ABC)$ và $SA = a\sqrt3$.

Ta xét khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SM$.

Do $AB \subset (ABC)$ và $SA \perp (ABC)$ nên: $AB \perp SA$.

Lại có $AB \perp BC$ nên $AB \perp AC$.

Vì $M \in AC$ nên $AB \perp AM$.

Suy ra $AB \perp (SAM)$.

Do đó: $AB \perp SM$.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SM$ chính là khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng $SM$: $d(AB,SM) = d(A,SM)$.

Xét tam giác $ASM$:

Ta có $AM = \dfrac{AC}{2}$.

Vì tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên:

$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2}$

$= \sqrt{(2a)^2 + (2a)^2} = 2a\sqrt2$.

=> $AM = a\sqrt2$.

Diện tích tam giác $ASM$ là:

$S_{ASM} = \dfrac12 \cdot SA \cdot AM$

$= \dfrac12 \cdot a\sqrt3 \cdot a\sqrt2$

$= \dfrac{a^2\sqrt6}{2}$.

Mặt khác: $S_{ASM} = \dfrac12 \cdot SM \cdot d(A,SM)$

$\Rightarrow d(A,SM) = \dfrac{2S_{ASM}}{SM}$.

Ta có: $SM = \sqrt{SA^2 + AM^2}$ $= \sqrt{3a^2 + 2a^2} = a\sqrt5$.

=> $d(AB,SM) = d(A,SM)$

$= \dfrac{2 \cdot \dfrac{a^2\sqrt6}{2}}{a\sqrt5}$

$= a\sqrt{\dfrac{6}{5}}$.

Vì $ABC$ vuông cân tại $B$ nên: $AC=2a\sqrt2$

Gọi $O$ là trung điểm của $AC$ thì $SO\perp AC$ và: $AO=CO=\dfrac{AC}{2}=a\sqrt2$

Do mặt phẳng $(SAC)\perp(ABC)$ nên: $SO\perp(ABC)$

Suy ra $SO$ là chiều cao của hình chóp.

Ta có: $SO=a\sqrt3$

Xét tam giác vuông $SOC$ tại $O$:

$SC^2=SO^2+OC^2 =3a^2+2a^2 =5a^2$

$\Rightarrow SC=a\sqrt5$

Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SC$, ta nhận thấy:

- $AB\perp BC$

- $SO\perp(ABC)$

- $SC$ nằm trong mặt phẳng $(SAC)$ vuông góc với $(ABC)$

=> đoạn vuông góc chung giữa $AB$ và $SC$ chính là đoạn $SO$.

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SC$ là: $d(AB,SC)=SO=a\sqrt3$

Đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$, có $BC = 2a$.

Gọi $AB = x \ (x>0)$.

Suy ra: $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{x^2 + 4a^2}$.

Gọi $M$ là trung điểm của $AC$ nên:

$AM = \dfrac{AC}{2}$.

Cạnh bên $SA \perp (ABC)$ và: $SA = 2a\sqrt3$.

Đặt hệ trục tọa độ trong mặt phẳng đáy:

$B(0,0,0)$,
$C(2a,0,0)$,
$A(0,x,0)$.

Suy ra:

$M\left(a,\dfrac{x}{2},0\right)$,

$S(0,x,2a\sqrt3)$.

Vectơ chỉ phương của $AB$ là:

$\vec u = \vec{AB} = (0,-x,0)$.

Vectơ chỉ phương của $SM$ là:

$\vec v = \vec{SM} = \left(a,\dfrac{x}{2},-2a\sqrt3\right)$.

Ta có:

$\vec u \times \vec v = (2ax\sqrt3,0,ax)$,

$|\vec u \times \vec v| = ax\sqrt{13}$.

Lấy vectơ nối từ $A$ đến $S$:

$\vec{AS} = (0,0,2a\sqrt3)$.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SM$ là:

$d(AB,SM)=\dfrac{|\vec{AS}\cdot(\vec u \times \vec v)|}{|\vec u \times \vec v|}$

$=\dfrac{2a^2x\sqrt3}{ax\sqrt{13}}$

$=2a\sqrt{\dfrac{3}{13}}$.

Vậy $,\boxed{d(AB,SM)=2a\sqrt{\dfrac{3}{13}}}$