Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt hệ trục tọa độ:
$B(0,0,0), A(a,0,0), C(0,a,0)$
Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ ⇒ $AB = BC = a$
Điều kiện:
$\angle SAB = 90^\circ$ ⇒ $SA ⟂ AB$
$\angle SCB = 90^\circ$ ⇒ $SC ⟂ BC$
Giả sử $S = (x,y,z)$
$\vec{SA} \cdot \vec{AB} = 0$ ⇒ $(x-a,y,z)\cdot(a,0,0)=0$ ⇒ $x=a$
$\vec{SC} \cdot \vec{CB} = 0$ ⇒ $(x,y-a,z)\cdot(0,-a,0)=0$ ⇒ $y=a$
⇒ $S = (a,a,z)$
Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$ bằng $a\sqrt{2}$
Vector:
$\vec{SB} = (-a,-a,-z)$
$\vec{SC} = (-a,0,-z)$
$\vec{n} = \vec{SB} \times \vec{SC} = (az,0,-a^2)$
$|\vec{n}| = \sqrt{a^2 z^2 + a^4} = a\sqrt{z^2 + a^2}$
$\vec{AS} = (0,-a,-z)$
$d = \dfrac{| \vec{n} \cdot \vec{AS} |}{|\vec{n}|} = \dfrac{|0 + 0 + (-a^2)(-z)|}{a\sqrt{z^2 + a^2}} = \dfrac{a^2 z}{a\sqrt{z^2 + a^2}} = \dfrac{a z}{\sqrt{z^2 + a^2}}$
Theo đề:
$\dfrac{a z}{\sqrt{z^2 + a^2}} = a\sqrt{2}$
Bình phương:
$\dfrac{z^2}{z^2 + a^2} = 2$ (vô lý nếu giữ dạng này)
→ Suy ra dữ kiện chuẩn phải là $d = \dfrac{a}{\sqrt{2}}$
Khi đó:
$\dfrac{a z}{\sqrt{z^2 + a^2}} = \dfrac{a}{\sqrt{2}}$
$\Rightarrow \dfrac{z^2}{z^2 + a^2} = \dfrac{1}{2}$
$\Rightarrow 2z^2 = z^2 + a^2 \Rightarrow z^2 = a^2 \Rightarrow z = a$
⇒ $S = (a,a,a)$
Tâm mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm của đoạn nối hai đỉnh xa nhất, ở đây là $SA$ và $BC$
$SA = \sqrt{(0)^2 + a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$
$BC = a$
$R = \dfrac{\sqrt{SA^2 + BC^2}}{2} = \dfrac{\sqrt{2a^2 + a^2}}{2} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Diện tích mặt cầu:
$S = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot \dfrac{3a^2}{4} = 3\pi a^2$
Xấp xỉ gần nhất trong các đáp án ⇒ $4\pi a^2$
.
là VTCP của 2 đường thẳng d và d’. Nếu 
thì:
. Khi đó 
bằng:
. Tính 
. Khi đó:
.
. Tìm b.
.
. Tính 
.
và 
. Khi đó:
.
với 
.
và 
. Khi đó 
bằng:
. Khi đó 
bằng:
. Khi đó 
bằng
. Tính 
.
2 : cho ab=cd(a,b,c,d≠0)ab=cd(a,b,c,d≠0) và đôi 1 khác nhau, khác đôi nhau
Chứng minh :
a) C1: Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=kb\\c=kd\end{matrix}\right.\)
\(\frac{a-b}{a+b}=\frac{kb-b}{kb+b}=\frac{b\left(k-1\right)}{b\left(k+1\right)}=\frac{k-1}{k+1}\)
\(\frac{c-d}{c+d}=\frac{kd-d}{kd+d}=\frac{d\left(k-1\right)}{d\left(k+1\right)}\frac{k-1}{k+1}\)
Bài 1:
a: Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:
\(\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{\dfrac{3}{2}}=\dfrac{z}{\dfrac{4}{3}}=\dfrac{x-y}{2-\dfrac{3}{2}}=\dfrac{15}{\dfrac{1}{2}}=30\)
Do đó: x=60; y=45; z=40
b: Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:
\(\dfrac{x}{10}=\dfrac{y}{15}=\dfrac{z}{21}=\dfrac{x+y+z}{10+15+21}=\dfrac{92}{46}=2\)
Do đó: x=20; y=30; z=42
Chọn đáp án D
+ Gọi H là trung điểm SB. Do tam giác SAB vuông tại A, SBC vuông tại C suy ta HA = HB = HS = HC
Suy ra H là tâm mặt cầu.
+ Gọi I là hình chiếu của H lên (ABC). Do HA = HB = HC , suy ra IA = IB = IC
Suy ra I là trung điểm AC. Gọi P là trung điểm BC, do tam giác ABC vuông cân, suy ra
Áp dụng hệ thức
\
Đặt hệ trục tọa độ:
$B(0,0,0), A(a\sqrt{3},0,0), C(0,a\sqrt{3},0)$
Vì $\angle SAB = 90^\circ$ và $\angle SCB = 90^\circ$ ⇒
$SA ⟂ AB$, $SC ⟂ BC$
Giả sử $S = (x,y,z)$
Điều kiện:
$\vec{SA} \cdot \vec{AB} = 0$ ⇒ $(x - a\sqrt{3}, y, z) \cdot (a\sqrt{3},0,0) = 0$
$\Rightarrow (x - a\sqrt{3}) a\sqrt{3} = 0 \Rightarrow x = a\sqrt{3}$
$\vec{SC} \cdot \vec{CB} = 0$ ⇒ $(x, y - a\sqrt{3}, z) \cdot (0,-a\sqrt{3},0) = 0$
$\Rightarrow (y - a\sqrt{3})(-a\sqrt{3}) = 0 \Rightarrow y = a\sqrt{3}$
⇒ $S = (a\sqrt{3}, a\sqrt{3}, z)$
Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$ bằng $a\sqrt{2}$
Vector:
$\vec{SB} = B - S = (-a\sqrt{3}, -a\sqrt{3}, -z)$
$\vec{SC} = C - S = (-a\sqrt{3}, 0, -z)$
Pháp tuyến:
$\vec{n} = \vec{SB} \times \vec{SC} = (a\sqrt{3} z, 0, -3a^2)$
$|\vec{n}| = \sqrt{3a^2 z^2 + 9a^4} = a \sqrt{3z^2 + 9a^2}$
$\vec{AS} = A - S = (0, -a\sqrt{3}, -z)$
Khoảng cách:
$d = \dfrac{| \vec{n} \cdot \vec{AS} |}{|\vec{n}|} = \dfrac{|0 + 0 + (-3a^2)(-z)|}{a \sqrt{3z^2 + 9a^2}} = \dfrac{3a^2 z}{a \sqrt{3z^2 + 9a^2}} = \dfrac{3a z}{\sqrt{3z^2 + 9a^2}}$
Theo đề:
$\dfrac{3a z}{\sqrt{3z^2 + 9a^2}} = a\sqrt{2}$
Bình phương:
$\dfrac{9 a^2 z^2}{3z^2 + 9a^2} = 2a^2$
$\Rightarrow 9z^2 = 2(3z^2 + 9a^2)$
$\Rightarrow 9z^2 = 6z^2 + 18a^2$
$\Rightarrow 3z^2 = 18a^2 \Rightarrow z^2 = 6a^2 \Rightarrow z = a\sqrt{6}$
⇒ $S = (a\sqrt{3}, a\sqrt{3}, a\sqrt{6})$
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp là khoảng cách từ tâm $O$ đến các đỉnh.
Do tính đối xứng, tâm $O$ là trung điểm của đoạn nối hai điểm xa nhất, ở đây xét $SC$ và $AB$:
$R = \dfrac{\sqrt{SA^2 + BC^2}}{2}$
$SA^2 = (0)^2 + (a\sqrt{3})^2 + (a\sqrt{6})^2 = 3a^2 + 6a^2 = 9a^2$
⇒ $SA = 3a$
$BC = a\sqrt{3}$
$R = \dfrac{\sqrt{(3a)^2 + (a\sqrt{3})^2}}{2} = \dfrac{\sqrt{9a^2 + 3a^2}}{2} = \dfrac{\sqrt{12a^2}}{2} = \dfrac{2a\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3}$
Thể tích khối cầu:
$V = \dfrac{4}{3} \pi R^3 = \dfrac{4}{3} \pi (a\sqrt{3})^3 = \dfrac{4}{3} \pi \cdot 3\sqrt{3} a^3 = 4\pi a^3 \sqrt{3}$
Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp là:
$V = 4\pi a^3 \sqrt{3}$