Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ nên:
$AB = BC = 2 \Rightarrow AC = 2\sqrt2$.
Các cạnh bên: $SA = SB = SC = 2$.
Đặt hệ trục tọa độ: $B(0,0,0),\ A(2,0,0),\ C(0,2,0)$.
Gọi $S(x,y,z)$ thỏa:
$SB^2 = x^2 + y^2 + z^2 = 4$.
Từ $SA^2 = 4 \Rightarrow (x-2)^2 + y^2 + z^2 = 4 \Rightarrow x = 1$.
Từ $SC^2 = 4 \Rightarrow x^2 + (y-2)^2 + z^2 = 4 \Rightarrow y = 1$.
Thay vào: $1 + 1 + z^2 = 4 \Rightarrow z^2 = 2 \Rightarrow z = \sqrt2$.
Suy ra $S(1,1,\sqrt2)$.
Do $SA = SB = SC = 2$ nên tâm mặt cầu ngoại tiếp là điểm $S$ đối xứng với $B$ qua tâm $I$, suy ra:
$I\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2},\dfrac{\sqrt2}{2}\right)$.
Bán kính:
$R = IB = \sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{\sqrt2}{2}\right)^2} = \sqrt{\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2}} = 1$.
Thể tích khối cầu:
$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{4}{3}\pi$.
Vậy $V = \dfrac{4\pi}{3}$.
Chọn đáp án B.
Đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, $BC = 2a$.
Giả sử $AB = x,\ AC = y$ thì:
$x^2 + y^2 = (2a)^2 = 4a^2$.
Các cạnh bên $SA, SB, SC$ cùng tạo với mặt đáy góc $60^\circ$ nên:
$\tan 60^\circ = \dfrac{SH}{HA} = \dfrac{SH}{HB} = \dfrac{SH}{HC}$.
Suy ra: $HA = HB = HC$ nên $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
Vì $ABC$ vuông tại $A$ nên $H$ là trung điểm của $BC$.
Suy ra: $HA = HB = HC = \dfrac{BC}{2} = a$.
Do đó: $\tan 60^\circ = \dfrac{SH}{a} \Rightarrow \sqrt3 = \dfrac{SH}{a} \Rightarrow SH = a\sqrt3$.
Ta có: $SA^2 = SH^2 + HA^2 = 3a^2 + a^2 = 4a^2 \Rightarrow SA = 2a$.
Tương tự: $SB = SC = 2a$.
Suy ra tâm mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm của $SH$.
Bán kính: $R = \dfrac{SH}{2} = \dfrac{a\sqrt3}{2}$.
Thể tích khối cầu:
$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{4}{3}\pi \left(\dfrac{a\sqrt3}{2}\right)^3 = \dfrac{4}{3}\pi \cdot \dfrac{3\sqrt3 a^3}{8} = \dfrac{\sqrt3\pi a^3}{2}$.
Vậy $V = \dfrac{\sqrt3\pi a^3}{2}$.
Chọn đáp án D.
Đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, $\widehat{ABC}=60^\circ$ nên:
$\tan 60^\circ = \dfrac{AC}{AB} \Rightarrow \sqrt3 = \dfrac{AC}{2} \Rightarrow AC = 2\sqrt3$.
Suy ra: $BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{4 + 12} = 4$.
Diện tích đáy: $S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AB \cdot AC = \dfrac{1}{2}\cdot 2 \cdot 2\sqrt3 = 2\sqrt3$.
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ nên $BM = \dfrac{BC}{2} = 2$.
Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0),\ B(2,0),\ C(0,2\sqrt3)$ thì $M\left(1,\sqrt3\right)$.
Khi đó: $AM = \sqrt{1^2 + (\sqrt3)^2} = 2$.
Góc giữa $SA$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $45^\circ$ nên:
$\tan 45^\circ = \dfrac{SH}{AM}$
$1 = \dfrac{SH}{2} \Rightarrow SH = 2$.
Thể tích khối chóp $S.ABC$ là:
$V = \dfrac13 S_{ABC} \cdot SH = \dfrac13 \cdot 2\sqrt3 \cdot 2 = \dfrac{4\sqrt3}{3}$.
Vậy $V = \dfrac{4\sqrt3}{3}$.
Chọn đáp án A.
Đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $1$ nên:
$OA = OB = OC = \dfrac{1}{\sqrt3}$ với $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp.
Tam giác $SAB$ cân tại $S$, $\widehat{ASB}=120^\circ$ nên:
$AB^2 = SA^2 + SB^2 - 2SA\cdot SB\cos120^\circ$.
Vì $SA = SB$ nên:
$1 = 2SA^2 - 2SA^2 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)= 2SA^2 + SA^2 = 3SA^2$
$\Rightarrow SA = \dfrac{1}{\sqrt3}$.
Gọi $M$ là trung điểm $AB$ thì:
$SM^2 = SA^2 - AM^2= \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4}= \dfrac{1}{12}$
$\Rightarrow SM = \dfrac{1}{2\sqrt3}$.
Vì $(SAB) \perp (ABC)$ nên $SM \perp (ABC)$.
Mặt khác:$OM = \sqrt{OA^2 - AM^2}= \sqrt{\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4}}= \dfrac{1}{2\sqrt3}$.
=> $SO^2 = SM^2 + OM^2 = \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{12}= \dfrac{1}{6}$
$\Rightarrow SO = \dfrac{1}{\sqrt6}$.
Tâm mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm $I$ của $SO$ nên:
$R = \dfrac{SO}{2} = \dfrac{1}{2\sqrt6}$.
Thể tích khối cầu:
$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3= \dfrac{4}{3}\pi \left(\dfrac{1}{2\sqrt6}\right)^3= \dfrac{4}{3}\pi \cdot \dfrac{1}{8} \cdot \dfrac{1}{6\sqrt6}= \dfrac{\pi}{36\sqrt6}= \dfrac{\pi\sqrt6}{216}$.
Vậy $V = \dfrac{\pi\sqrt6}{216}$.
Chọn đáp án A.
Đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $1$ nên:
$OA = OB = OC = \dfrac{1}{\sqrt3}$ với $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp.
Tam giác $SAB$ cân tại $S$, $\widehat{ASB}=120^\circ$ nên:
$AB^2 = SA^2 + SB^2 - 2SA\cdot SB\cos120^\circ$.
Vì $SA = SB$ nên:
$1 = 2SA^2 - 2SA^2 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)= 2SA^2 + SA^2 = 3SA^2$
$\Rightarrow SA = \dfrac{1}{\sqrt3}$.
Gọi $M$ là trung điểm $AB$ thì:
$SM^2 = SA^2 - AM^2= \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4}= \dfrac{1}{12}$
$\Rightarrow SM = \dfrac{1}{2\sqrt3}$.
Vì $(SAB) \perp (ABC)$ nên $SM \perp (ABC)$.
Mặt khác: $OM = \sqrt{OA^2 - AM^2}= \sqrt{\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4}}= \dfrac{1}{2\sqrt3}$.
Suy ra: $SO^2 = SM^2 + OM^2= \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{12}= \dfrac{1}{6}$
$\Rightarrow SO = \dfrac{1}{\sqrt6}$.
Tâm mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm $I$ của $SO$ nên:
$R = \dfrac{SO}{2} = \dfrac{1}{2\sqrt6}$.
Thể tích khối cầu:
$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3= \dfrac{4}{3}\pi \left(\dfrac{1}{2\sqrt6}\right)^3= \dfrac{4}{3}\pi \cdot \dfrac{1}{8} \cdot \dfrac{1}{6\sqrt6}= \dfrac{\pi\sqrt6}{216}$.
Vậy $V = \dfrac{\pi\sqrt6}{216}$.
Chọn đáp án A.
Đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ nên:
$S_{ABC}=\dfrac{a^2\sqrt3}{4}$.
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Khi đó trong tam giác đều $ABC$:
$AM \perp BC$
và:
$AM=\dfrac{a\sqrt3}{2}$.
Vì $SA \perp (ABC)$ nên:
$SA \perp BC$.
Suy ra mặt phẳng $(SAM)$ vuông góc với $BC$.
Góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ là góc giữa hai đường thẳng cùng vuông góc với $BC$ trong hai mặt phẳng đó, tức là:
$\widehat{SMA}=60^\circ$.
Xét tam giác vuông $SAM$ tại $A$:
$\tan 60^\circ=\dfrac{SA}{AM}$
$\Rightarrow \sqrt3=\dfrac{SA}{\dfrac{a\sqrt3}{2}}$
$\Rightarrow SA=\dfrac{3a}{2}$.
Thể tích khối chóp $S.ABC$ là:
$V=\dfrac13 S_{ABC}\cdot SA$
$=\dfrac13\cdot\dfrac{a^2\sqrt3}{4}\cdot\dfrac{3a}{2}$
$=\dfrac{a^3\sqrt3}{8}$.
Vậy: $V=\dfrac{a^3\sqrt3}{8}$.
Chọn đáp án A.
Đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $1$ nên tâm $O$ của đường tròn ngoại tiếp là $OA = OB = OC = \dfrac{1}{\sqrt3}$.
Tam giác $SAB$ cân tại $S$ với $\widehat{ACB}=120^\circ$ nên áp dụng định lý cosin:
$AB^2 = SA^2 + SB^2 - 2 SA \cdot SB \cos 120^\circ$.
Vì $SA = SB$ nên:
$1 = 2 SA^2 - 2 SA^2 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) = 3 SA^2 \Rightarrow SA = \dfrac{1}{\sqrt3}$.
Gọi $M$ là trung điểm $AB$:
$SM^2 = SA^2 - AM^2 = \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{12} \Rightarrow SM = \dfrac{1}{2\sqrt3}$.
Vì $(SAB)\perp(ABC)$ nên $SM \perp (ABC)$.
Mặt khác: $OM = \sqrt{OA^2 - AM^2} = \sqrt{\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4}} = \dfrac{1}{2\sqrt3}$.
=> $SO^2 = SM^2 + OM^2 = \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{12} = \dfrac{1}{6} \Rightarrow SO = \dfrac{1}{\sqrt6}$.
Tâm mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm $I$ của $SO$ nên:
$R = \dfrac{SO}{2} = \dfrac{1}{2\sqrt6}$.
Thể tích khối cầu:
$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{4}{3}\pi \left(\dfrac{1}{2\sqrt6}\right)^3 = \dfrac{5 \cdot 15 \pi}{54}$.
Vậy $V = \dfrac{5 \cdot 15 \pi}{54}$.
Chọn đáp án C.
Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ nên:
$AB = BC = 2 \Rightarrow AC = 2\sqrt2$.
Các cạnh bên: $SA = SB = SC = 2$.
Ta có: $AB^2 + BC^2 = 4 + 4 = 8 = AC^2$ nên $\triangle ABC$ vuông tại $B$.
Mặt khác: $SA = SB = SC = 2$ nên điểm $S$ cách đều $A,B,C$.
Suy ra $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ tại tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
Vì tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm $O$ của $AC$.
Do đó tâm mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm $I$ của $SO$.
Ta có: $AC = 2\sqrt2 \Rightarrow OA = OB = OC = \dfrac{AC}{2} = \sqrt2$.
Xét tam giác vuông $SAO$:
$SA^2 = SO^2 + OA^2$
$4 = SO^2 + 2 \Rightarrow SO^2 = 2 \Rightarrow SO = \sqrt2$.
Suy ra: $R = \dfrac{SO}{2} = \dfrac{\sqrt2}{2}$.
Thể tích khối cầu:
$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{4}{3}\pi \left(\dfrac{\sqrt2}{2}\right)^3 = \dfrac{4}{3}\pi \cdot \dfrac{2\sqrt2}{8} = \dfrac{\sqrt2\pi}{3}$.
Vậy $V = \dfrac{\sqrt2\pi}{3}$.