Đáp án B

Vì $SA\perp(ABC)$ nên:

$SA\perp BC$.

Lại có:

$AB\perp BC$.

Suy ra:

$BC\perp (SAB)$.

Mà $SM\subset (SAB)$ nên:

$BC\perp SM$.

Do đó khoảng cách giữa hai đường thẳng $SM$ và $BC$ chính là khoảng cách từ $B$ đến $SM$ trong mặt phẳng $(SAB)$.

Xét tam giác vuông $SAB$ tại $A$:

$AB=a,\ SA=a\sqrt2$.

Suy ra:

$SB=\sqrt{AB^2+SA^2}=\sqrt{a^2+2a^2}=a\sqrt3$.

Vì $M$ là trung điểm của $AB$ nên:

$BM=\dfrac a2$.

Ta có:

$SM=\sqrt{SA^2+AM^2}=\sqrt{2a^2+\left(\dfrac a2\right)^2}=\dfrac{3a}{2}$.

Diện tích tam giác $SBM$:

$S_{SBM}=\dfrac12\cdot BM\cdot SA=\dfrac12\cdot\dfrac a2\cdot a\sqrt2=\dfrac{a^2\sqrt2}{4}$.

Gọi $d$ là khoảng cách từ $B$ đến $SM$, ta có:

$S_{SBM}=\dfrac12\cdot SM\cdot d$.

Suy ra:

$\dfrac{a^2\sqrt2}{4}=\dfrac12\cdot\dfrac{3a}{2}\cdot d$

$\Rightarrow d=\dfrac{a\sqrt2}{3}$.

Vậy:

$\boxed{d=\dfrac{a\sqrt2}{3}}$.

Ta có:
$\triangle ABC$ vuông cân tại $A$ nên:
$AB = AC = a,\ AB \perp AC$.

Lại có:
$SA \perp (ABC)$ nên:
$SA \perp AB,\ SA \perp AC$.

Và:
$SA = a\sqrt{3}$.

Ta có:
$AC \perp AB$ và $AC \perp SA$.

Mà $AB,\ SA$ là hai đường cắt nhau nằm trong mặt phẳng $(SAB)$ nên:
$AC \perp (SAB)$.

Lại có:
$AC \subset (SAC)$.

Suy ra:
$(SAB)\perp (SAC)$.

Vì $\triangle ABC$ vuông cân tại $A$ nên:
$M$ là trung điểm của $BC$.

Suy ra:
$AM \perp BC$.

Lại có:
$SA \perp (ABC)$ nên:
$SA \perp BC$.

Do đó:
$BC \perp SA$ và $BC \perp AM$.

Mà $SA,\ AM$ là hai đường cắt nhau thuộc mặt phẳng $(SAM)$ nên:
$BC \perp (SAM)$.

Suy ra:
$BC \perp SM$.

Vì $SA \perp (ABC)$ nên hình chiếu vuông góc của $SC$ lên $(ABC)$ là $AC$.

Do đó góc giữa $SC$ và $(ABC)$ là:
$\widehat{SCA}$.

Xét tam giác vuông $SAC$ tại $A$:

$SA = a\sqrt{3},\ AC = a$.

Ta có:
$SC=\sqrt{SA^2+AC^2}$

$=\sqrt{3a^2+a^2}$

$=2a$.

Suy ra:
$\sin \widehat{SCA}=\dfrac{SA}{SC}$

$=\dfrac{a\sqrt3}{2a}$

$=\dfrac{\sqrt3}{2}$.

Vậy:
$\widehat{(SC,(ABC))}=60^\circ$.

a.

Do \(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow SA\perp BC\\AB\perp BC\left(gt\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\)

\(\Rightarrow BC\perp SB\)

b.

\(SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow AC\) là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABC)

\(\Rightarrow\widehat{SCA}\) là góc giữa SC và (ABC)

\(AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=a\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow tan\widehat{SCA}=\dfrac{SA}{AC}=1\Rightarrow\widehat{SCA}=45^0\)

Đặt hệ trục tọa độ:

$B(0,0,0),\ A(a,0,0),\ C(0,a,0)$.

Vì $SA\perp(ABC)$ và $SA=a$ nên:

$S(a,0,a)$.

Trong mặt phẳng $(SAC)$:

$\vec{SA}=(0,0,a),\ \vec{AC}=(-a,a,0)$.

Vectơ pháp tuyến của $(SAC)$ là:

$\vec n_1=\vec{SA}\times\vec{AC}=(-a^2,-a^2,0)$.

Suy ra có thể lấy:

$\vec n_1=(1,1,0)$.

Trong mặt phẳng $(SBC)$:

$\vec{SB}=(-a,0,-a),\ \vec{BC}=(0,a,0)$.

Vectơ pháp tuyến của $(SBC)$ là:

$\vec n_2=\vec{SB}\times\vec{BC}=(a^2,0,-a^2)$.

Suy ra có thể lấy:

$\vec n_2=(1,0,-1)$.

Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai vectơ pháp tuyến:

$\cos\alpha=\dfrac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1||\vec n_2|}$

$=\dfrac{|1\cdot1+1\cdot0+0\cdot(-1)|}{\sqrt{1^2+1^2}\sqrt{1^2+(-1)^2}}$

$=\dfrac{1}{2}$.

Suy ra:

$\alpha=60^\circ$.

Vậy chọn đáp án A.

+ Gọi H là trung điểm của BC

Do tam giác ABC cân tại A nên AH ⊥ BC, tam giác SBC đều nên SH  ⊥ BC

Mà (SBC)  ⊥ (ABC)

Do đó SH  ⊥ (ABC)

+ Gọi K là hình chiếu vuông góc của H lên SA ⇒  HK ⊥ SA

Ta có  B C ⊥ S H B C ⊥ A H ⇒ B C ⊥ S A H ⇒ B C ⊥ H K

Vậy HK là đoạn vuông góc chung của BC và SA, do đó khoảng cách giữa BC và SA là HK.

+ Tính HK

Tam giác SBC đều cạnh a ⇒  SH =  a 3 2

Tam giác ABC vuông cân tại A ⇒  AH =  B C 2 = a 2

Tam giác SHA vuông tại H có HK là đường cao ⇒ 1 H K 2 = 1 S H 2 + 1 A H 2  

HK =  a 3 4

Vậy d(SA; BC) = a 3 4 .

Đáp án C

Chọn C

Xác định được 

Khi đó ta tính được 

Trong mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho ABCD là hình chữ nhật => AB//(SCD) nên

Từ (1) và (2) suy ra 

Xét tam giác vuông SAD có

Chọn hệ trục tọa độ:

$B(0,0,0),\ A(a,0,0),\ C(0,a,0)$ (tam giác vuông cân tại $B$)

Vì $SA \perp (ABC)$ nên đặt:

$S(a,0,h)$

Xét hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(SBC)$

$\vec{SB} = (-a,0,-h),\ \vec{SC} = (-a,a,-h)$

$\vec{n_2} = \vec{SB} \times \vec{SC} = (ah,\ 0,\ -a^2)$

Góc giữa hai mặt phẳng:

$\cos 60^\circ = \dfrac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}|,|\vec{n_2}|}$

Tính:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = a^2$

$|\vec{n_2}| = \sqrt{a^2h^2 + a^4} = a\sqrt{h^2 + a^2}$

Suy ra:

$\dfrac{1}{2} = \dfrac{a}{\sqrt{h^2 + a^2}}$

Giải ra:

$\dfrac{1}{4} = \dfrac{a^2}{h^2 + a^2} \Rightarrow h^2 + a^2 = 4a^2$

$\Rightarrow h^2 = 3a^2 \Rightarrow h = a\sqrt{3}$

Xét hai đường thẳng $AB$ và $SC$:

$\vec{AB} = (a,0,0),\ \vec{SC} = (-a,a,-a\sqrt{3})$

$\vec{AS} = (0,0,a\sqrt{3})$

Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau:

$d = \dfrac{|[\vec{AS}, \vec{AB}, \vec{SC}]|}{|\vec{AB} \times \vec{SC}|}$

Tính:

$\vec{AB} \times \vec{SC} = (0,\ a^2\sqrt{3},\ a^2)$

$|\vec{AB} \times \vec{SC}| = a^2\sqrt{3 + 1} = 2a^2$

$[\vec{AS}, \vec{AB}, \vec{SC}] = a^3\sqrt{3}$

Suy ra:

$d = \dfrac{a^3\sqrt{3}}{2a^2} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$