Vì tam giác $SBC$ đều cạnh $a$ nên

$SB = SC = BC = a$

Gọi $H$ là trung điểm của $BC$.

Khi đó trong tam giác đều: $SH \perp BC$ và $SH = \dfrac{\sqrt3}{2}a$

Do $(SBC)\perp(ABC)$ theo giao tuyến $BC$ nên $SH \perp (ABC)$

Suy ra $SH$ là chiều cao của hình chóp.

Vì $ABC$ vuông cân tại $A$ nên $AB = AC$

Mà $BC = a$

Trong tam giác vuông cân:

$AB = AC = \dfrac{a}{\sqrt2}$

Ta có:

$AH = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{a}{2}$

Xét tam giác vuông $SAH$ (vì $SH \perp (ABC)$ nên $SH \perp AH$):

$SA^2 = SH^2 + AH^2$

$= \left(\dfrac{a\sqrt3}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2$

$= \dfrac{3a^2}{4} + \dfrac{a^2}{4}$

$= a^2$

$\Rightarrow SA = a$

Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau bằng:

$d = \dfrac{2V_{SABC}}{SA \cdot BC}$

Diện tích đáy:

$S_{ABC} = \dfrac12 AB \cdot AC = \dfrac12 \cdot \dfrac{a}{\sqrt2} \cdot \dfrac{a}{\sqrt2} = \dfrac{a^2}{4}$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac13 S_{ABC} \cdot SH = \dfrac13 \cdot \dfrac{a^2}{4} \cdot \dfrac{a\sqrt3}{2} = \dfrac{a^3\sqrt3}{24}$

=> $d = \dfrac{2V}{SA \cdot BC} = \dfrac{2 \cdot \dfrac{a^3\sqrt3}{24}}{a \cdot a} = \dfrac{a\sqrt3}{12} \cdot 2 = \dfrac{a\sqrt6}{6}$

Vì $SBC$ đều cạnh $a$ nên: $SB=SC=BC=a$

Gọi $H$ là trung điểm $BC$.

Đường cao tam giác đều: $SH=\dfrac{\sqrt3}{2}a$

Do $(SBC)\perp(ABC)$ nên: $SH\perp(ABC)$

⇒ $SH$ là chiều cao hình chóp.

Vì $ABC$ vuông cân tại $A$ nên:

$AB=AC=\dfrac{a}{\sqrt2}$

Diện tích đáy: $S_{ABC} =\dfrac12 AB\cdot AC =\dfrac12\cdot\dfrac{a}{\sqrt2}\cdot\dfrac{a}{\sqrt2} =\dfrac{a^2}{4}$

Thể tích: $V=\dfrac13 S_{ABC}\cdot SH =\dfrac13\cdot\dfrac{a^2}{4}\cdot\dfrac{a\sqrt3}{2} =\dfrac{a^3\sqrt3}{24}$

Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau: $d=\dfrac{2V}{SA\cdot BC}$

Mà $SA=a,\ BC=a$

⇒ $d=\dfrac{2\cdot\dfrac{a^3\sqrt3}{24}}{a^2} =\dfrac{a\sqrt6}{6}$

Đáp án C

Vì $SBC$ là tam giác đều cạnh $a$ nên: $SB=SC=BC=a$

Gọi $H$ là trung điểm của $BC$.

Đường cao tam giác đều: $SH=\dfrac{\sqrt3}{2}a$

Do $(SBC)\perp(ABC)$ nên: $SH\perp(ABC)$

⇒ $SH$ là chiều cao hình chóp.

Vì $ABC$ vuông cân tại $A$ nên: $AB=AC=\dfrac{a}{\sqrt2}$

Diện tích đáy: $S_{ABC} =\dfrac12 AB\cdot AC =\dfrac12\cdot\dfrac{a}{\sqrt2}\cdot\dfrac{a}{\sqrt2} =\dfrac{a^2}{4}$

Thể tích: $V=\dfrac13 S_{ABC}\cdot SH =\dfrac13\cdot\dfrac{a^2}{4}\cdot\dfrac{a\sqrt3}{2} =\dfrac{a^3\sqrt3}{24}$

Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau: $d=\dfrac{2V}{SA\cdot BC}$

Mà $SA=a,\ BC=a$

⇒ $d=\dfrac{2\cdot\dfrac{a^3\sqrt3}{24}}{a^2} =\dfrac{a\sqrt3}{12}\cdot2 =\dfrac{a\sqrt3}{6} =\dfrac{a\sqrt2}{2}$

Đáp án D

Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ nên
$AB = AC$ và $BC = AB\sqrt{2}$

$BC = a\sqrt{2} \Rightarrow AB = AC = a$

Diện tích đáy:

$S_{ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot AC$
$= \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot a$
$= \dfrac{a^2}{2}$

Gọi $H$ là chân đường vuông góc từ $A$ xuống $BC$

Vì $(SBC)$ tạo với $(ABC)$ góc $45^\circ$ nên:

$\tan 45^\circ = \dfrac{SA}{AH} $

$\Rightarrow SA = AH$

Trong tam giác vuông $ABC$:

$AH = \dfrac{AB \cdot AC}{BC}$
$= \dfrac{a \cdot a}{a\sqrt{2}}$
$= \dfrac{a}{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow SA = \dfrac{a}{\sqrt{2}}$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot SA$
$= \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{a^2}{2} \cdot \dfrac{a}{\sqrt{2}}$
$= \dfrac{a^3}{6\sqrt{2}}$
$= \dfrac{a^3\sqrt{2}}{12}$

Chọn D

Vì tam giác $SBC$ đều cạnh $a$ nên: $SB=SC=BC=a$

Đường cao của tam giác đều: $SH=\dfrac{\sqrt3}{2}a$

Do $(SBC)\perp(ABC)$ theo giao tuyến $BC$ nên: $SH\perp(ABC)$

Suy ra $SH$ là chiều cao của hình chóp.

Xét tam giác đáy $ABC$ vuông tại $A$ và có:

$\widehat{ABC}=30^\circ$

Vì $BC=a$ (do tam giác $SBC$ đều) nên trong tam giác vuông:

$AB=BC\cos30^\circ =a\cdot\dfrac{\sqrt3}{2} =\dfrac{a\sqrt3}{2}$

$AC=BC\sin30^\circ =a\cdot\dfrac12 =\dfrac{a}{2}$

Diện tích đáy:

$S_{ABC} =\dfrac12 AB\cdot AC =\dfrac12\cdot\dfrac{a\sqrt3}{2}\cdot\dfrac{a}{2} =\dfrac{a^2\sqrt3}{8}$

Thể tích khối chóp:

$V=\dfrac13 S_{ABC}\cdot SH =\dfrac13\cdot\dfrac{a^2\sqrt3}{8}\cdot\dfrac{a\sqrt3}{2} =\dfrac13\cdot\dfrac{3a^3}{16} =\dfrac{a^3}{16}$

B A C H I S

Gọi H là trung điểm của BC, suy ra \(SH\perp BC\). Mà (SBC) vuông góc với (ABC) theo giao tuyến BC, nên \(SH\perp\left(ABC\right)\)

Ta có : \(BC=a\Rightarrow SH=\frac{a\sqrt{3}}{2}\); \(AC=BC\sin30^0=\frac{a}{2}\)

\(AB=BC.\cos30^0=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

Do đó  \(V_{S.ABC}=\frac{1}{6}SH.AB.AC=\frac{a^3}{16}\)

Tam giác ABC vuông tại A và H là trung điểm của BC nên \(HA=HB\). Mà \(SH\perp\left(ABC\right)\), suy ra \(SA=SB=a\). Gọi I là trung điểm của AB, suy ra \(SI\perp AB\) 

Do đó \(SI=\sqrt{SB^2-\frac{AB^2}{4}}=\frac{a\sqrt{13}}{4}\)

Suy ra \(d\left(C;\left(SAB\right)\right)=\frac{3V_{S.ABC}}{S_{SAB}}=\frac{6V_{S.ABC}}{SI.AB}=\frac{a\sqrt{39}}{13}\)

Gọi $AB = AC = a$ ($a>0$).
Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ nên
$S_{ABC} = \dfrac12 AB \cdot AC = \dfrac{a^2}{2}$.

Do $SA \perp (ABC)$ nên thể tích khối chóp là
$V = \dfrac13 S_{ABC}\cdot SA = \dfrac{a^2 SA}{6}$.

Gọi $d$ là khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$, theo đề bài: $d = 3$.

Ta có công thức thể tích khác:
$V = \dfrac13 S_{SBC}\cdot d = \dfrac13 S_{SBC}\cdot 3 = S_{SBC}$.

=> $V = S_{SBC}$.

Góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ là $\alpha$.
Do $BC \subset (ABC)$ nên

$\cos\alpha = \dfrac{S_{ABC}}{S_{SBC}}$.

=> $\cos\alpha = \dfrac{S_{ABC}}{V}$.

Thay $S_{ABC} = \dfrac{a^2}{2}$ và $V = \dfrac{a^2 SA}{6}$:

$\cos\alpha = \dfrac{\dfrac{a^2}{2}}{\dfrac{a^2 SA}{6}} = \dfrac{3}{SA}$.

Để thể tích $V = \dfrac{a^2 SA}{6}$ nhỏ nhất thì $SA$ nhỏ nhất.

Mặt khác, trong tam giác vuông cân $ABC$, khoảng cách từ $A$ đến $BC$ là $h = \dfrac{a}{\sqrt2}$.

Do $d = SA \sin\alpha = 3$ nên $SA \ge 3$.

Vậy $SA_{\min} = 3$.

Thay vào công thức cosin:
$\cos\alpha = \dfrac{3}{SA} = \dfrac{3}{3} = 1$.

Vậy $\cos\alpha = 1$.

Đáp án B

Giả sử $AB = AC = a$ $(a>0)$.
Vì tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ nên
$S_{ABC} = \dfrac12 AB\cdot AC = \dfrac{a^2}{2}$.

Do $SA \perp (ABC)$ nên thể tích khối chóp là
$V = \dfrac13 S_{ABC}\cdot SA = \dfrac{a^2 SA}{6}$.

Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$ là $d = 3$.

Ta có công thức thể tích theo mặt $(SBC)$:
$V = \dfrac13 S_{SBC}\cdot d = \dfrac13 S_{SBC}\cdot 3 = S_{SBC}$.

Suy ra: $V = S_{SBC}$.

Góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ là $\alpha$.
Do $BC \subset (ABC)$ nên:

$\cos\alpha = \dfrac{S_{ABC}}{S_{SBC}}$.

Thay $S_{SBC} = V$ ta được:
$\cos\alpha = \dfrac{S_{ABC}}{V}$.

Thay $S_{ABC} = \dfrac{a^2}{2}$ và $V = \dfrac{a^2 SA}{6}$:

$\cos\alpha = \dfrac{\dfrac{a^2}{2}}{\dfrac{a^2 SA}{6}} = \dfrac{3}{SA}$.

Do $\cos\alpha \le 1$ nên
$\dfrac{3}{SA} \le 1 \Rightarrow SA \ge 3$.

Mặt khác, thể tích $V = \dfrac{a^2 SA}{6}$ nhỏ nhất khi $SA$ nhỏ nhất, suy ra $SA_{\min} = 3$.

Thay vào công thức cosin: $\cos\alpha = \dfrac{3}{SA} = \dfrac{3}{3} = 1$.

Vậy ...

Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$
$\Rightarrow AB = AC = a,; BC = a\sqrt{2}$

Diện tích đáy:
$S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AB\cdot AC = \dfrac{1}{2}a\cdot a = \dfrac{a^2}{2}$

Gọi $H$ là chân đường vuông góc từ $A$ xuống $BC$

Vì tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$:
$AH = \dfrac{a}{\sqrt{2}}$

Mặt bên $(SBC)$ tạo với mặt đáy $(ABC)$ góc $45^\circ$

$\tan 45^\circ = \dfrac{SH}{AH} = 1$

$\Rightarrow SH = AH = \dfrac{a}{\sqrt{2}}$

Xét tam giác vuông $SAH$:

$SA^2 = SH^2 + AH^2 = \left(\dfrac{a}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\dfrac{a}{\sqrt{2}}\right)^2 = a^2$

$\Rightarrow SA = a$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3}\cdot S_{ABC}\cdot SA = \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{a^2}{2}\cdot a = \dfrac{a^3}{6}$

$V = \dfrac{a^3}{6}$