B A C H I S

Gọi H là trung điểm của BC, suy ra \(SH\perp BC\). Mà (SBC) vuông góc với (ABC) theo giao tuyến BC, nên \(SH\perp\left(ABC\right)\)

Ta có : \(BC=a\Rightarrow SH=\frac{a\sqrt{3}}{2}\); \(AC=BC\sin30^0=\frac{a}{2}\)

\(AB=BC.\cos30^0=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

Do đó  \(V_{S.ABC}=\frac{1}{6}SH.AB.AC=\frac{a^3}{16}\)

Tam giác ABC vuông tại A và H là trung điểm của BC nên \(HA=HB\). Mà \(SH\perp\left(ABC\right)\), suy ra \(SA=SB=a\). Gọi I là trung điểm của AB, suy ra \(SI\perp AB\) 

Do đó \(SI=\sqrt{SB^2-\frac{AB^2}{4}}=\frac{a\sqrt{13}}{4}\)

Suy ra \(d\left(C;\left(SAB\right)\right)=\frac{3V_{S.ABC}}{S_{SAB}}=\frac{6V_{S.ABC}}{SI.AB}=\frac{a\sqrt{39}}{13}\)

Kẻ SH vuông góc với BC tại H => SH vuông góc với (ABC) 
Kẻ HM vuông góc với AB tại M và HN vuông góc với AC tại N 
Ta có góc SMH = góc SNH = 60 độ 
Dễ thấy tam giác SHM = tam giác SHN => HM = HN 
Ta có HM = HB.sin 30 = 1/2 HB hay HB = 2 HM 
HN = HC.sin 60 = HC.căn 3 /2 => HC = 2/căn 3.HN = 2/căn 3 .HM 
=> BC = a = HB + HC = ( 2 + 2/căn 3).HM 
=> HM = a/(2 + 2/căn 3) = a.căn 3 /(2+ 2.căn 3) 
=> SH = HM.tan 60 = 3a/(2+2.căn 3) 
Có AB = BC/2 = a/2 
AC = BC.căn 3/2 = a.căn 3/2 
S(ABC) = 1/2.AB.AC = 1/8.a^2.căn 3 
=> V(SABC) = 1/3.3a/(2+2.căn 3) . 1/8.a^2.căn 3 = a^3.căn 3 /[16.(1+ căn 3)]

Vì $SBC$ đều cạnh $a$ nên: $SB=SC=BC=a$

Gọi $H$ là trung điểm $BC$.

Đường cao tam giác đều: $SH=\dfrac{\sqrt3}{2}a$

Do $(SBC)\perp(ABC)$ nên: $SH\perp(ABC)$

⇒ $SH$ là chiều cao hình chóp.

Vì $ABC$ vuông cân tại $A$ nên:

$AB=AC=\dfrac{a}{\sqrt2}$

Diện tích đáy: $S_{ABC} =\dfrac12 AB\cdot AC =\dfrac12\cdot\dfrac{a}{\sqrt2}\cdot\dfrac{a}{\sqrt2} =\dfrac{a^2}{4}$

Thể tích: $V=\dfrac13 S_{ABC}\cdot SH =\dfrac13\cdot\dfrac{a^2}{4}\cdot\dfrac{a\sqrt3}{2} =\dfrac{a^3\sqrt3}{24}$

Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau: $d=\dfrac{2V}{SA\cdot BC}$

Mà $SA=a,\ BC=a$

⇒ $d=\dfrac{2\cdot\dfrac{a^3\sqrt3}{24}}{a^2} =\dfrac{a\sqrt6}{6}$

 ​

1) Gọi H là trung điểm của AB.
ΔSAB đều → SH ⊥ AB
mà (SAB) ⊥ (ABCD) → SH⊥ (ABCD)
Vậy H là chân đường cao của khối chóp.

Đáp án C

Vì $SBC$ là tam giác đều cạnh $a$ nên: $SB=SC=BC=a$

Gọi $H$ là trung điểm của $BC$.

Đường cao tam giác đều: $SH=\dfrac{\sqrt3}{2}a$

Do $(SBC)\perp(ABC)$ nên: $SH\perp(ABC)$

⇒ $SH$ là chiều cao hình chóp.

Vì $ABC$ vuông cân tại $A$ nên: $AB=AC=\dfrac{a}{\sqrt2}$

Diện tích đáy: $S_{ABC} =\dfrac12 AB\cdot AC =\dfrac12\cdot\dfrac{a}{\sqrt2}\cdot\dfrac{a}{\sqrt2} =\dfrac{a^2}{4}$

Thể tích: $V=\dfrac13 S_{ABC}\cdot SH =\dfrac13\cdot\dfrac{a^2}{4}\cdot\dfrac{a\sqrt3}{2} =\dfrac{a^3\sqrt3}{24}$

Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau: $d=\dfrac{2V}{SA\cdot BC}$

Mà $SA=a,\ BC=a$

⇒ $d=\dfrac{2\cdot\dfrac{a^3\sqrt3}{24}}{a^2} =\dfrac{a\sqrt3}{12}\cdot2 =\dfrac{a\sqrt3}{6} =\dfrac{a\sqrt2}{2}$

S o B H A D G d H' C K

Câu a bạn tự tính nhé!

Câu b: Qua G kẻ đường thẳng d // CD , khoảng cách từ \(d\left(G;\left(SAB\right)\right)=d\left(d;\left(SAD\right)\right)\) 

Kẻ HH' vuông CD , nối SH'. Lúc này SH' cách d tại K . \(d\left(K;\left(SAB\right)\right)\) là khoảng cách cần tìm.

Ta có: S_H'AB =\(\frac{1}{2}S_{ABCD}\)=\(\frac{1}{2}\times2\sqrt{3}a^2=\sqrt{3}a^2\) \(\Rightarrow HH'=\frac{\sqrt{3}a^2}{a}=\sqrt{3}a\) 

Vì K nằm trên d nên \(d\left(K;\left(SAB\right)\right)=\frac{2}{3}HH'=\frac{2\sqrt{3}a}{3}\)

A B C D H K S

Hạ \(SH\perp BC\Rightarrow\left(SBC\right)\perp\left(ABC\right)\)

                      \(\Rightarrow SH\perp BC;SH=SB.\sin\widehat{SBC}=a\sqrt{3}\)

Diện tích : \(S_{ABC}=\frac{12}{\boxtimes}BA.BC=6a^2\)

Thể tích : \(V_{s.ABC}=\frac{1}{3}S_{ABC}.SH=2a^3\sqrt{3}\)

Hạ \(HD\perp AC\left(D\in AC\right),HK\perp SD\left(K\in SD\right)\)

\(\Rightarrow HK\perp\left(SAC\right)\Rightarrow HK=d\left(H,\left(SAC\right)\right)\)

\(BH=SB.\cos\widehat{SBC}=3a\Rightarrow BC=4HC\)

\(\Rightarrow d\left(B,\left(SAC\right)\right)=4d\left(H,SAC\right)\)

Ta có : \(AC=\sqrt{BA^2+BC^2}=5a;HC=BC-BH=a\)

\(\Rightarrow HD=BA.\frac{HC}{AC}=\frac{3a}{5}\)

\(HK=\frac{SH.HS}{\sqrt{SH^2+HD^2}}=\frac{3a\sqrt{7}}{14}\)

Vậy \(d\left(B,\left(SAC\right)\right)=4HK=\frac{6a\sqrt{7}}{7}\)