Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$
$\Rightarrow AB = AC = a,; BC = a\sqrt{2}$

Diện tích đáy:
$S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AB\cdot AC = \dfrac{1}{2}a\cdot a = \dfrac{a^2}{2}$

Gọi $H$ là chân đường vuông góc từ $A$ xuống $BC$

Vì tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$:
$AH = \dfrac{a}{\sqrt{2}}$

Mặt bên $(SBC)$ tạo với mặt đáy $(ABC)$ góc $45^\circ$

$\tan 45^\circ = \dfrac{SH}{AH} = 1$

$\Rightarrow SH = AH = \dfrac{a}{\sqrt{2}}$

Xét tam giác vuông $SAH$:

$SA^2 = SH^2 + AH^2 = \left(\dfrac{a}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\dfrac{a}{\sqrt{2}}\right)^2 = a^2$

$\Rightarrow SA = a$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3}\cdot S_{ABC}\cdot SA = \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{a^2}{2}\cdot a = \dfrac{a^3}{6}$

$V = \dfrac{a^3}{6}$

 ​

1) Gọi H là trung điểm của AB.
ΔSAB đều → SH ⊥ AB
mà (SAB) ⊥ (ABCD) → SH⊥ (ABCD)
Vậy H là chân đường cao của khối chóp.

B A C H I S

Gọi H là trung điểm của BC, suy ra \(SH\perp BC\). Mà (SBC) vuông góc với (ABC) theo giao tuyến BC, nên \(SH\perp\left(ABC\right)\)

Ta có : \(BC=a\Rightarrow SH=\frac{a\sqrt{3}}{2}\); \(AC=BC\sin30^0=\frac{a}{2}\)

\(AB=BC.\cos30^0=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

Do đó  \(V_{S.ABC}=\frac{1}{6}SH.AB.AC=\frac{a^3}{16}\)

Tam giác ABC vuông tại A và H là trung điểm của BC nên \(HA=HB\). Mà \(SH\perp\left(ABC\right)\), suy ra \(SA=SB=a\). Gọi I là trung điểm của AB, suy ra \(SI\perp AB\) 

Do đó \(SI=\sqrt{SB^2-\frac{AB^2}{4}}=\frac{a\sqrt{13}}{4}\)

Suy ra \(d\left(C;\left(SAB\right)\right)=\frac{3V_{S.ABC}}{S_{SAB}}=\frac{6V_{S.ABC}}{SI.AB}=\frac{a\sqrt{39}}{13}\)

Kẻ SH vuông góc với BC tại H => SH vuông góc với (ABC) 
Kẻ HM vuông góc với AB tại M và HN vuông góc với AC tại N 
Ta có góc SMH = góc SNH = 60 độ 
Dễ thấy tam giác SHM = tam giác SHN => HM = HN 
Ta có HM = HB.sin 30 = 1/2 HB hay HB = 2 HM 
HN = HC.sin 60 = HC.căn 3 /2 => HC = 2/căn 3.HN = 2/căn 3 .HM 
=> BC = a = HB + HC = ( 2 + 2/căn 3).HM 
=> HM = a/(2 + 2/căn 3) = a.căn 3 /(2+ 2.căn 3) 
=> SH = HM.tan 60 = 3a/(2+2.căn 3) 
Có AB = BC/2 = a/2 
AC = BC.căn 3/2 = a.căn 3/2 
S(ABC) = 1/2.AB.AC = 1/8.a^2.căn 3 
=> V(SABC) = 1/3.3a/(2+2.căn 3) . 1/8.a^2.căn 3 = a^3.căn 3 /[16.(1+ căn 3)]

Đáp án D

Chọn D

Có

Vậy 

Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$
$\Rightarrow AB \perp BC,; AB = BC = a$

Diện tích đáy:
$S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AB\cdot BC = \dfrac{1}{2}a\cdot a = \dfrac{a^2}{2}$

$SA \perp (ABC)$
$\Rightarrow SA$ là chiều cao của khối chóp.

Gọi $H$ là chân đường vuông góc từ $A$ xuống $BC$

Vì tam giác vuông cân tại $B$:
$AH = \dfrac{a}{\sqrt{2}}$

Góc giữa hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(SBC)$ bằng $60^\circ$

$\tan 60^\circ = \dfrac{SA}{AH}$

$\sqrt{3} = \dfrac{SA}{\dfrac{a}{\sqrt{2}}}$

$\Rightarrow SA = \dfrac{a\sqrt{6}}{2}$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3}\cdot S_{ABC}\cdot SA = \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{a^2}{2}\cdot \dfrac{a\sqrt{6}}{2} = \dfrac{a^3\sqrt{6}}{12}$

$V = \dfrac{a^3\sqrt{6}}{12}$

Chọn D.

Đặt SA = x > 0. Ta có  Ta có:

Xét tam giác vuông SBD, ta có 

Khi đó: 

Vậy 

Vì $SA \perp (ABC)$ nên $SA$ là chiều cao của khối chóp.

Đáy $ABC$ là tam giác cân tại $A$, $AD$ là trung tuyến nên $AD \perp BC$ và
$S_{ABC} = \dfrac{1}{2} , AD \cdot BC = \dfrac{1}{2} a \cdot BC$.

Xét cạnh $SB$:

- $SB$ tạo với đáy góc $60^\circ$
$\Rightarrow \sin 60^\circ = \dfrac{SA}{SB}$
$\Rightarrow SB = \dfrac{SA}{\sin 60^\circ} = \dfrac{2SA}{\sqrt{3}}$

- $SB$ tạo với mặt phẳng $(SAD)$ góc $30^\circ$
$\Rightarrow \sin 30^\circ = \dfrac{BD}{SB}$
$\Rightarrow BD = SB \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{SA}{\sqrt{3}}$

Vì $D$ là trung điểm $BC$ nên:

$BC = 2BD = \dfrac{2SA}{\sqrt{3}}$

Diện tích đáy:

$S_{ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot \dfrac{2SA}{\sqrt{3}} = \dfrac{aSA}{\sqrt{3}}$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot SA = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{aSA}{\sqrt{3}} \cdot SA = \dfrac{aSA^2}{3\sqrt{3}}$

Vì $SA = a$:

$V = \dfrac{a^3\sqrt{3}}{9} = \dfrac{a^3\sqrt{3}}{3 \cdot 3}$

Chọn A

Đáp án D

Đặt: $AB=BC=a$

Vì $ABC$ vuông cân tại $B$ nên: $AC=a\sqrt2$

Do $SA\perp(ABC)$ nên $SA$ là chiều cao.

Góc giữa hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(SBC)$ chính là góc giữa hai đường thẳng cùng vuông góc với giao tuyến $BC$.

Trong mặt phẳng đáy: $AB\perp BC$

Trong mặt phẳng $(SBC)$: $SB\perp BC$

⇒ $\widehat{(ABC),(SBC)}=\widehat{ABS}=60^\circ$

Xét tam giác vuông $SAB$ tại $A$:

$\tan 60^\circ=\dfrac{SA}{AB}$

$\sqrt3=\dfrac{SA}{a}$

⇒ $SA=a\sqrt3$

Thể tích khối chóp:

$V=\dfrac13 S_{ABC}\cdot SA$

$S_{ABC}=\dfrac12 a^2$

⇒ $V=\dfrac13\cdot\dfrac12 a^2\cdot a\sqrt3 =\dfrac{a^3\sqrt3}{6}$

Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau: $d=\dfrac{2V}{AB\cdot SC}$

Ta có: $SC=\sqrt{SA^2+AC^2} =\sqrt{3a^2+2a^2} =a\sqrt5$

Suy ra: $d=\dfrac{2\cdot\dfrac{a^3\sqrt3}{6}}{a\cdot a\sqrt5} =\dfrac{a\sqrt3}{3\sqrt5} =\dfrac{a\sqrt{15}}{15}$