Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt hệ trục tọa độ sao cho:
$B(0,0,0),\ A(a,0,0),\ C(0,2a,0)$.
Vì $SA\perp(ABC)$ và $SA=3a$ nên:
$S(a,0,3a)$.
Ta có:
$\vec{AC}=(-a,2a,0),\ \vec{AS}=(0,0,3a)$.
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(SAC)$ là:
$\vec n_1=\vec{AC}\times\vec{AS}=(6a^2,3a^2,0)$.
Suy ra có thể lấy:
$\vec n_1=(2,1,0)$.
Trong mặt phẳng $(SBC)$:
$\vec{BC}=(0,2a,0),\ \vec{BS}=(a,0,3a)$.
Vectơ pháp tuyến là:
$\vec n_2=\vec{BC}\times\vec{BS}=(6a^2,0,-2a^2)$.
Suy ra: $\vec n_2=(3,0,-1)$.
Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai vectơ pháp tuyến nên:
$\cos\alpha=\dfrac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1||\vec n_2|}=\dfrac{|2\cdot3+1\cdot0+0\cdot(-1)|}{\sqrt{2^2+1^2}\sqrt{3^2+(-1)^2}}=\dfrac{6}{\sqrt5\sqrt10}=\dfrac{6}{5\sqrt2}$.
Suy ra: $\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-\dfrac{36}{50}}=\sqrt{\dfrac{14}{50}}=\dfrac{\sqrt7}{5}$.
Vậy:
$\boxed{\sin\alpha=\dfrac{\sqrt7}{5}}$.
Chọn đáp án D.
Chọn C.
Phương pháp: Tính thể tích khối chóp theo công thức V = 1 3 B h
Có S B , A B C = ∠ S B A = 60 °
Gọi M là trung điểm BC, khi đó
⇒ S B C , A B C = ∠ S M A
Có c o s ∠ S M A
Chọn đáp án B.
Gọi:
$AC=BC=x$ vì tam giác $ABC$ vuông cân tại $C$.
Do $SA\perp(ABC)$ nên tam giác $SAC$ vuông tại $A$.
Ta có: $SC=a$ nên: $SA^2+AC^2=a^2$
$\Rightarrow SA^2+x^2=a^2$.
Thể tích khối chóp:
$V=\dfrac13S_{ABC}\cdot SA$
$=\dfrac13\cdot\dfrac{x^2}{2}\cdot SA$
$=\dfrac{x^2SA}{6}$.
Từ: $SA^2=a^2-x^2$ suy ra: $SA=\sqrt{a^2-x^2}$.
Do đó: $V=\dfrac{x^2\sqrt{a^2-x^2}}{6}$.
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$.
Vì: $SA\perp(ABC)\Rightarrow SA\perp BC$ và: $CM\perp BC$
nên mặt phẳng $(SCM)\perp BC$.
Suy ra góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ là:
$\alpha=\widehat{SCM}$.
Trong tam giác vuông $SCM$ tại $C$:
$\sin\alpha=\dfrac{SM}{SC}$.
Mà: $SM^2=SA^2+CM^2 =SA^2+\left(\dfrac{x}{2}\right)^2$.
Từ điều kiện cực đại thể tích:
Xét: $f(x)=x^2\sqrt{a^2-x^2}$.
Ta có:
$f'(x)=0 \Rightarrow 2(a^2-x^2)-x^2=0$
$\Rightarrow 2a^2=3x^2$
$\Rightarrow x^2=\dfrac{2a^2}{3}$.
Suy ra: $SA^2=a^2-\dfrac{2a^2}{3}=\dfrac{a^2}{3}$.
Khi đó:
$SM^2=\dfrac{a^2}{3}+\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{2a^2}{3} =\dfrac{a^2}{2}$.
Do đó: $SM=\dfrac{a}{\sqrt2}$.
Suy ra: $\sin\alpha=\dfrac{SM}{SC} =\dfrac{a/\sqrt2}{a} =\dfrac{\sqrt2}{2}$.
Vậy: $\boxed{\sin\alpha=\dfrac{\sqrt2}{2}}$.
Đáp án là A