Vì AB, AC, AS đôi một vuông góc nên

Chọn C.

Gọi $AB=AC=a$ vì đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$.

Do $SA \perp (ABC)$ nên đặt: $SA=h$.

Thể tích khối chóp:

$V=\dfrac13\cdot\dfrac{a^2}{2}\cdot h=\dfrac{a^2h}{6}$.

Gọi $d$ là khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$.

Theo giả thiết: $d=3$.

Ta có công thức thể tích theo đáy $SBC$:

$V=\dfrac13 S_{SBC}\cdot d=S_{SBC}$.

Suy ra: $S_{SBC}=\dfrac{a^2h}{6}$.

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$.

Vì tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ nên:

$AM\perp BC$ và: $AM=\dfrac{a}{\sqrt2}$.

Mặt khác: $SA\perp BC$.

Suy ra mặt phẳng $(SAM)\perp BC$.

Do đó góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ là:

$\alpha=\widehat{SMA}$.

Xét tam giác vuông $SAM$ tại $A$:

$\tan\alpha=\dfrac{SA}{AM}=\dfrac{h}{a/\sqrt2}=\dfrac{h\sqrt2}{a}$.

Suy ra: $h=\dfrac{a\tan\alpha}{\sqrt2}$.

Thể tích:

$V=\dfrac{a^2}{6}\cdot\dfrac{a\tan\alpha}{\sqrt2} =\dfrac{a^3\tan\alpha}{6\sqrt2}$.

Mặt khác khoảng cách từ $A$ đến $(SBC)$ bằng:

$d=AM\sin\alpha =\dfrac{a}{\sqrt2}\sin\alpha=3$.

Suy ra: $a=\dfrac{3\sqrt2}{\sin\alpha}$.

Thế vào biểu thức thể tích:

$V=\dfrac1{6\sqrt2}\left(\dfrac{3\sqrt2}{\sin\alpha}\right)^3\tan\alpha$

$=\dfrac{9}{\sin^2\alpha\cos\alpha}$.

Đặt: $t=\cos\alpha$ với $0<t<1$.

Khi đó: $V=\dfrac{9}{(1-t^2)t}$.

Để $V$ nhỏ nhất thì: $(1-t^2)t=t-t^3$ phải lớn nhất.

Xét: $f(t)=t-t^3$.

$f'(t)=1-3t^2$.

$f'(t)=0 \Rightarrow t=\dfrac1{\sqrt3}$.

Vậy: $\cos\alpha=\dfrac{\sqrt3}{3}$.

Chọn đáp án C.

Có  S B , A B C = ∠ S B A = 60 °

Gọi M là trung điểm BC, khi đó

⇒ S B C , A B C = ∠ S M A

Có c o s ∠ S M A

Chọn đáp án B.

Đặt hệ trục tọa độ sao cho:

$B(0,0,0),\ A(a,0,0),\ C(0,2a,0)$.

Vì $SA\perp(ABC)$ và $SA=3a$ nên:

$S(a,0,3a)$.

Ta có:

$\vec{AC}=(-a,2a,0),\ \vec{AS}=(0,0,3a)$.

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(SAC)$ là:

$\vec n_1=\vec{AC}\times\vec{AS}=(6a^2,3a^2,0)$.

Suy ra có thể lấy:

$\vec n_1=(2,1,0)$.

Trong mặt phẳng $(SBC)$:

$\vec{BC}=(0,2a,0),\ \vec{BS}=(a,0,3a)$.

Vectơ pháp tuyến là:

$\vec n_2=\vec{BC}\times\vec{BS}=(6a^2,0,-2a^2)$.

Suy ra: $\vec n_2=(3,0,-1)$.

Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai vectơ pháp tuyến nên:

$\cos\alpha=\dfrac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1||\vec n_2|}=\dfrac{|2\cdot3+1\cdot0+0\cdot(-1)|}{\sqrt{2^2+1^2}\sqrt{3^2+(-1)^2}}=\dfrac{6}{\sqrt5\sqrt10}=\dfrac{6}{5\sqrt2}$.

Suy ra: $\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-\dfrac{36}{50}}=\sqrt{\dfrac{14}{50}}=\dfrac{\sqrt7}{5}$.

Vậy:

$\boxed{\sin\alpha=\dfrac{\sqrt7}{5}}$.

Chọn đáp án D.

Xác định được 

Khi đó ta tính được 

Trong mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho ABCD là hình chữ nhật

=> AB//CD  nên

Xét tam giác vuông SAD có 

Chọn C. 

Đáp án B

Vì tam giác SAC vuông tại A nên ta có 

Gọi:

$AC=BC=x$ vì tam giác $ABC$ vuông cân tại $C$.

Do $SA\perp(ABC)$ nên tam giác $SAC$ vuông tại $A$.

Ta có: $SC=a$ nên: $SA^2+AC^2=a^2$

$\Rightarrow SA^2+x^2=a^2$.

Thể tích khối chóp:

$V=\dfrac13S_{ABC}\cdot SA$

$=\dfrac13\cdot\dfrac{x^2}{2}\cdot SA$

$=\dfrac{x^2SA}{6}$.

Từ: $SA^2=a^2-x^2$ suy ra: $SA=\sqrt{a^2-x^2}$.

Do đó: $V=\dfrac{x^2\sqrt{a^2-x^2}}{6}$.

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$.

Vì: $SA\perp(ABC)\Rightarrow SA\perp BC$ và: $CM\perp BC$

nên mặt phẳng $(SCM)\perp BC$.

Suy ra góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ là:

$\alpha=\widehat{SCM}$.

Trong tam giác vuông $SCM$ tại $C$:

$\sin\alpha=\dfrac{SM}{SC}$.

Mà: $SM^2=SA^2+CM^2 =SA^2+\left(\dfrac{x}{2}\right)^2$.

Từ điều kiện cực đại thể tích:

Xét: $f(x)=x^2\sqrt{a^2-x^2}$.

Ta có:

$f'(x)=0 \Rightarrow 2(a^2-x^2)-x^2=0$

$\Rightarrow 2a^2=3x^2$

$\Rightarrow x^2=\dfrac{2a^2}{3}$.

Suy ra: $SA^2=a^2-\dfrac{2a^2}{3}=\dfrac{a^2}{3}$.

Khi đó:

$SM^2=\dfrac{a^2}{3}+\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{2a^2}{3} =\dfrac{a^2}{2}$.

Do đó: $SM=\dfrac{a}{\sqrt2}$.

Suy ra: $\sin\alpha=\dfrac{SM}{SC} =\dfrac{a/\sqrt2}{a} =\dfrac{\sqrt2}{2}$.

Vậy: $\boxed{\sin\alpha=\dfrac{\sqrt2}{2}}$.