Đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ nên:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 = a^2 + (2a)^2 = 5a^2 \Rightarrow AC = a\sqrt5$.

Do $SA \perp (ABC)$ nên tam giác $SAC$ vuông tại $A$, suy ra:

$SC^2 = SA^2 + AC^2 = (a\sqrt3)^2 + (a\sqrt5)^2 = 3a^2 + 5a^2 = 8a^2 \Rightarrow SC = 2a\sqrt2$.

Mặt khác: $SB^2 = SA^2 + AB^2 = 3a^2 + a^2 = 4a^2 \Rightarrow SB = 2a$.

Xét tam giác $SBC$:

$SB^2 + BC^2 = (2a)^2 + (2a)^2 = 4a^2 + 4a^2 = 8a^2 = SC^2$.

Suy ra $\triangle SBC$ vuông tại $B$, nên tâm mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm của $SC$.

Bán kính: $R = \dfrac{SC}{2} = a\sqrt2$.

Diện tích mặt cầu:

$S_{mc} = 4\pi R^2 = 4\pi (a\sqrt2)^2 = 8\pi a^2$.

Vậy $S_{mc} = 8\pi a^2$.

Chọn đáp án C.

Áp dụng BĐT tam giác ta có:

a+b>c =>c-a<b =>c²-2ac+a²<b²

a+c>b =>b-c <a =>b²-2bc+c²<a²

b+c>a =>a-b<c =>a²-2ab+b²<c²

Suy ra: c²-2ac+a²+b²-2bc+c²+a²-2ab+b²<a²+b²+c²

<=>-2.(ab+bc+ca)+2.(a²+b²+c²)<a²+b²+c²

<=>-2(ab+bc+ca)<-(a²+b²+c²)

<=>2.(ab+bc+ca)<a²+b²+c²

Dựng tam giác đều IAB (I và C cùng phía bờ AB). Ta có ∠ I B C = 120 ° - 60 ° = 60 ° và IB=BC nên DIBC đều, IA=IB=IC=a

Qua I dựng đường thẳng song song với SA, cắt đường trung trực của SA tại O thì O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Gọi M là trung điểm của SA.

Chọn hệ trục tọa độ:

$B(0,0,0),\ A(a,0,0)$

Vì $\widehat{ABC} = 120^\circ,\ BC = a$ nên:

$C\left(a\cos120^\circ,\ a\sin120^\circ,\ 0\right) = \left(-\dfrac{a}{2},\ \dfrac{a\sqrt{3}}{2},\ 0\right)$

Vì $SA \perp (ABC),\ SA = 2a$ nên đặt:

$S(a,0,2a)$

Gọi $O(x,y,z)$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp

Do $OA = OB = OC = OS$

Từ $OA = OB$:

$(x-a)^2 + y^2 + z^2 = x^2 + y^2 + z^2 \Rightarrow x = \dfrac{a}{2}$

Từ $OB = OC$:

$x^2 + y^2 + z^2 = \left(x + \dfrac{a}{2}\right)^2 + \left(y - \dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 + z^2$

Thay $x = \dfrac{a}{2}$ ⇒ $y = \dfrac{a}{2\sqrt{3}}$

Từ $OA = OS$:

$(x-a)^2 + y^2 + z^2 = (x-a)^2 + y^2 + (z-2a)^2$

$\Rightarrow z = a$

Suy ra:

$O\left(\dfrac{a}{2},\ \dfrac{a}{2\sqrt{3}},\ a\right)$

Bán kính:

$R^2 = OA^2 = \left(-\dfrac{a}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{a}{2\sqrt{3}}\right)^2 + a^2$

$= \dfrac{a^2}{4} + \dfrac{a^2}{12} + a^2 = \dfrac{4a^2}{3}$

Suy ra:

$R = \dfrac{2a}{\sqrt{3}} = \dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$

Đáp án A

Gọi M là trung điểm của AC. Tam giác ABC vuông tại B, do đó M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Gọi O là trung điểm của AC, suy ra OM // SA. Mà

Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ nên:

$AB = BC = a \Rightarrow AC = a\sqrt2$.

Do $SA \perp (ABC)$ nên $SA \perp AC$, suy ra tam giác $SAC$ vuông tại $A$.

Góc giữa $SC$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $60^\circ$ nên:

$\tan 60^\circ = \dfrac{SA}{AC}$

$\sqrt3 = \dfrac{SA}{a\sqrt2}$

$\Rightarrow SA = a\sqrt6$.

Khi đó:

$SB^2 = SA^2 + AB^2 = 6a^2 + a^2 = 7a^2 \Rightarrow SB = a\sqrt7$.

$SC^2 = SA^2 + AC^2 = 6a^2 + 2a^2 = 8a^2 \Rightarrow SC = 2a\sqrt2$.

Xét tam giác $SBC$:

$BC = a,\ SB = a\sqrt7,\ SC = 2a\sqrt2$.

Ta có:

$SB^2 + BC^2 = 7a^2 + a^2 = 8a^2 = SC^2$

$\Rightarrow \triangle SBC$ vuông tại $B$.

Suy ra tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là trung điểm của $SC$, bán kính:

$R = \dfrac{SC}{2} = a\sqrt2$.

Thể tích khối cầu là:

$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{4}{3}\pi (a\sqrt2)^3 = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 2\sqrt2 a^3 = \dfrac{8\sqrt2\pi a^3}{3}$.

Vậy $V = \dfrac{8\sqrt2\pi a^3}{3}$.

Chọn đáp án A.

Đáp án là D

Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ và:

$AB=BC=a$.

Suy ra:

$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=a\sqrt2$.

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(a,0,0),\ B(0,0,0),\ C(0,a,0)$.

Vì $SA\perp(ABC)$ và $SA=2a$ nên:

$S(a,0,2a)$.

Gọi $O(x,y,z)$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp.

Từ $OA=OB$:

$(x-a)^2+y^2+z^2=x^2+y^2+z^2$

$\Rightarrow x=\dfrac a2$.

Từ $OB=OC$:

$x^2+(y-a)^2+z^2=x^2+y^2+z^2$

$\Rightarrow y=\dfrac a2$.

Từ $OA=OS$:

$(z)^2=(z-2a)^2$

$\Rightarrow z=a$.

Vậy:

$O\left(\dfrac a2,\dfrac a2,a\right)$.

Bán kính mặt cầu:

$R=OA=\sqrt{\left(\dfrac a2\right)^2+\left(\dfrac a2\right)^2+a^2}$

$=\sqrt{\dfrac{a^2}{4}+\dfrac{a^2}{4}+a^2}=\sqrt{\dfrac{3a^2}{2}}=\dfrac{a\sqrt6}{2}$.

Vậy:

$\boxed{R=\dfrac{a\sqrt6}{2}}$.

Chọn đáp án D.

vì (C) đi qua điểm A nên tọa độ điểm A thỏa mãn pt \(y=\frac{ax^2-bx}{x-1}\) ta có \(\frac{5}{2}=\frac{a+b}{-2}\Rightarrow a+b=-5\)

vì tiếp tuyến của đồ thị tại điểm O có hệ số góc =-3 suy ra y'(O)=-3

ta có \(y'=\frac{ax^2-2ax+b}{\left(x-1\right)^2}\) ta có y'(O)=b=-3 suy ra a=-2

vậy ta tìm đc a và b

Gọi G là trọng tâm của tam giác đều ABC, suy ra G là tâm đường tròn ngoại tiếp DABC

Trục của đường tròn ngoại tiếp DABC cắt mặt phẳng trung trực của cạnh bên SA tại tâm I của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Tính

Đáp án B